12.数学建模-随机微分方程法.ppt

* §13. 常见的数学建模方法(8) ---- 随机微分方程法 实例: 股票价格模型 1. 股票价格的随机变化过程 股票价格的马尔科夫性质 在实际经济生活中, 投资者都非常密切地注视着股票市场的变化, 总想试图通过各种各样的分析, 从股票市场的变化中寻找有用的信息 而从中获利. 但事实上, 这是不可能的 ! 因为 假定 根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况, 可以判断 出 在未来的一段时间内, 例如在一个月后，这种股票将从现在价格 每股10元上涨到每股15元左右. 由于一个成熟的市场上, 所有的信息在市场上都能有效地 ( 均匀、同 时地 ) 传播, 这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现, 投资者第二天开市就会马上买入这种股票, 对这种股票的需求也会 立即增加, 从而导致这种股票的价格当即上扬, 变成了每股20元， 结果这种所谓 已被 “察觉” 的一个月后必然获利机会瞬间就会消失 . 这说明上面的 “根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的 今后发展情况” 的 假定 是不成立的. 股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the weak form of market efficiency). 弱市场有效性 主要是有两点内涵: 其一, 现在的价格是过去所有信息的完全反映, 没有任何信息的作用 会持续到以后 ; 其二, 对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映. 从数学上来说, 这是一种称之为马尔科夫随机过程 所具有的性质. 马尔科夫过程 (Markov process) 是一种特殊类型的随机过程. 这个 过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关, 而变量过去的历史 和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关. 或者说, 随机 变量过去的取值与今后的取值是相互独立的. 因此 ,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是: 股票价格遵循 马尔科夫过程 . 在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的 假设能经受实践的检验。 (2) 维纳 ( Wiener) 过程 i) 基本维纳过程 在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它 被称为 基本维纳过程 (wiener processes) .物理学中最早用它来描 绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为 布朗运动 (Brownian motion) . 如果变量 z 遵循 基本维纳过程 , 则 Δz 必须满足两个基本性质: 其中ε是服从标准正态分布的一个随机变量 . 当 Δt →0 时, 方程 (*) 可以写为 : . (b) 对于任何两个不同时间间隔 Δt , Δz 的值是相互独立的. 从性质 (a) , 我们推得 Δz 本身具有正态分布, 其中 : Δz的均值 = Δz的方差 = , Δz的标准差 = . 性质 (b) 则隐含 z 遵循 马尔科夫过程 . 下面我们考虑在一段相当长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示 为: z ( T ) – z ( 0 ) . 这可以被看作是在 N 个长度为 Δt 的小时间间隔中 z 的变化总量. 这里 N = T /Δt . 因此 , z ( T ) – z ( 0 ) = 其中 εi 服从标准正态分布, 且是相互独立的. 由此可得 z ( T ) – z ( 0 ) 是正态分布的, 且 : [z(T) – z(0)] 的均值 = [z(T) – z(0)] 的方差 = = N Δt = T , 因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的 变化量服从于均值为 0、标准差为 的正态分布 . 当 Δt →0时, 体现维纳过程性质 (a) 的方程 (*) 可以写为 : . 对于维纳过程而言, 我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该 变量在该时刻的 “平均漂移”, 而称在单位时间处的平均漂移为该维 纳过程的漂移率 ; 同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该 维纳过程的方差率. 上面讨论到的维纳过程, 其漂移率应是 0 , 方差 率应是 1 . 这里 , 漂移率为 0 , 意味着在未来任何时刻 , z 的期望值 等于它的当前值 ; 方差率为 1 , 意味着在长度为 T 的一段时间段后, z 的变化的方差为 1×T = T . 漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程,我们常称之为 基本维纳过 程 . 生成 基本维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为： ii) 一般化维纳过程 ( gener