12向量空间及线性方程组的解结构.ppt

向量空间及线性方程组的解结构 * * * * . 向量空间的基本概念 定义1. 设V是一个由n维向量构成的一个非空集合，若V对向量的加法运算和数字与向量的乘法运算封闭，则称V是一个向量空间。 所谓V对向量的加法运算和向量与数字的乘法运算封闭是指： 对于V中的任何元素?, ?，以及任何一个实数?，? + ? 和??仍然属于V。 若U是V的一个非空子集，且U也是一个向量空间，则称U是V的子空间。 1). 所有的n维向量组成的集合Rn是一个向量空间. 2).设? = (a, b, c)是一个非零的三维向量 L(?) = {(x, y, z)| (x, y, z) = ?(a, b, c), ??R} {(x, y, z)| (x, y, z) = ?(a, b, c) + (1, 2, 3), ??R} 3).设? = (a1, a2, a3), ? = (b1, b2, b3)是两个线性无关的三维向量 L(?) = {(x, y, z)| (x, y, z) = ?? + ??, ?, ??R} {(x, y, z)| (x, y, z) = ?? + ?? + (1, 2, 3), ?, ??R} 1. 向量空间的例子 4). 设?1, ?2, …, ?m是一组n维向量 2.向量空间的基和维数 设V是一个向量空间，?1, ?2, …, ?r?V若满足： 1) ?1, ?2, …, ?r线性无关 2) V中的任何一个向量皆可以被?1, ?2, …, ?r线性表出 则称?1, ?2, …, ?r是V的一个基，并称V是一个r维的向量空间，或称V的维数是r. 若V={0}，则称V的维数是0 例1 设 证明：?1, ?2, ?3是R3的基，并把?1, ?2用该组基线性表出 证明： 对矩阵(?1, ?2, ?3, ?1, ?2)实施初等行变换 从中可以看到?1, ?2, ?3线性无关，并且： 二. 线性方程组的解结构 1. 线性方程齐次组AX=0的解向量组成的集合V = {X = (x1, x2, …, xn)T| AX = 0}构成Rn的一个子空间 2. 线性齐次方程组的基础解系 设 设A的秩r n，且前r个列向量是它列向量组的一个极大线性无关组。 即： 令xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r 则: 简记为: 显然，J1, J2, …, Jn-r是线性无关的，且方程组的任何一个解向量皆可以被它线性表出。 称X=c1J1+ c2J2 + …+cn-rJn-r为该齐次线性方程组的通解。 称J1, J2, …, Jn-r是该线性齐次方程组的基础解系。 该齐次线性方程组的基础解系就是向量空间V的基，故V是一个n-r维的向量空间。 例2 求齐次线性方程组 的基础解系。 解： 从而 令： 得该齐次线性方程组的通解： 由此可知： 是该齐次线性方程组的基础解系。 例3 证明 也是上面齐次线性方程组的基础解系 证明：验证向量组?1, ?2与?1, ?2相互等价便可 * *