13.3移动平均过程MA(q).ppt

* §13.3 移动平均过程MA(q) 一、移动平均过程的概念 设有无穷自回归过程 (13.3.1) 其中ut为白噪声，｜θ｜＜1。 (13.3.1)的滞后算符形式 (1+ θL +θ2L2 +θ3L3 + … ) yt = ut (13.3.2) 因为 (1+ θL +θ2L2 +θ3L3 +…)-1 = 1- θL (13.3.3) 所以，(13.3.2)可以改写成 (13.3.4) 由(13.3.4)可以看出yt可以表示成两个白噪声的加权和。 我们把由白噪声序列各元素的加权和表示的随机过程 称为移动平均过程，过程中参数的数目称为移动平均 过程的阶。q阶移动平均(Moving Average)过程简记为 MA(q)。它的形式是  (13.3.5) 或写成更一般的形式： (13.3.5) 显然,( 13.3.4)便是一阶移动平均过程MA(1)，而且它可 以由无穷自回归过程(13.3.1)转换而成。 二、移动平均过程的可转换条件 在§13.2中，我们已经知道，自回归过程满足平稳条 件时，有限阶自回归过程(13.2.2)可以转化为无穷阶移 动平均过程(13.2.10)，即表示成白噪声序列各元素的 线性组合。 那么,移动平均过程是否能转换为自回归过程?应该 说，在一定条件下是可以转换的。为此我们把(13.3.5) 改写成 (13.3.6) 引进算符多项式： (13.3.7) 称为q 阶移动平均算符。利用(13.3.7)可将 (13.3.6)表示为 (10.3.8) 或 (13.3.9) 如果 收敛，那么(13.3.9)式表示移动平均过 程可以表示成自回归过程。与自回归过程讨论类似， 收敛的充要条件是 的特征方程： (13.3.10) 的所有的根的模大于1即｜z｜＞1，也就是这些根都 在复单位圆的外面。这个条件称为移动平均过程的 可转换条件。满足这个条件的移动平均过程称为可逆 的(Invertible)。 今后如果没有特别声明，我们总是假定所有移动平 均过程都是可逆。 这个结论的直接应用是，我们可以将阶数很高的自 回归过程近似地用阶数较低的移动平均过程来代替， 而将阶数很高的移动平均过程近似地用阶数较低的 自回归过程来代替，从而实现用尽可能少的参数来 构造随机过程模型的目的。 三、移动平均过程阶数的确定 对于给定的样本，怎样为生成移动平均过程确定合 适的阶数?为了回答这个问题，我们首先来研究反映 移动平均过程特征的自相关函数。 (一)自相关函数 为了讨论方便，我们先研究MA(1)过程 (13.3.11) 因为ut和ut-1是白噪声，所以，它的期望值为 (13.3.12) 方差为 (13.3.13) 协方差 (13.3.14) 以上讨论表明(13.3.11)是平稳的。由于 不 依赖时间t，而只依赖k，所以可以用 表示。于是， 自相关函数为 (13.3.15) (13.3.15)式表明MA(1)只有1期记忆，即当k＞1时 =0。 对MA(q)模型： (13.3.16) 与MA(1)的推导过程类似，可得结果： (13.3.17) (k =1，2，…，q) (13.3.18) 于是 (13.3.19) 对平稳过程，方差 必须有限，因此要求 ，对无穷阶移动平均过程要求