广义Cholesky分解乘法扰动探析.pdf

2012年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 第 34卷第 1期 广义Cholesky分解乘法扰动分析 房喜明 (肇庆学院数学与信息科学学院，肇庆526061) M UIJTIPLICATIVE PERI’URBATIoN ANALySIS FoR GENERALIZED CHoLESKY FACToRIZATIoN FangXim ing (FacultyofMathematicsandInformationSciences，ZhaoqingUniversity, Zhaoqing，526061) Abstract W hentheperturbedmatrixK andtherealsymmetricmatrxi K are Tcongruentandboth havethegeneralizedCholcskyfactorization．K can bere- gardedasaresultofK byamultiplicativeperturbation．Basedonthisthought，we obtainsomemultiplicativeconclusionsaboutthegeneralizedCholeskyfactoriza- tion，whichimprovethepresentresultstosomeextent． Key words generalized Cholesky factorization，perturbation，matrix norms， congruent． AMS(2000)subjectclassifications 15A60 中图法分类号 024 0 引 言 关于实对称矩阵的广义Cholesky分解和扰动问题是矩阵计算的重要问题，可参考文 献 1【-2]．本文首先介绍已有的采用加法扰动的角度得到的广义 Cholesky分解的一阶相对 肇庆学l完科学研究基金资助项目(0718) 收稿 日期：2009-02-06． · 62 · 房喜明：广义 Cholesky分解乘法扰动分析 第 1期 扰动上界，见引理2-3；之后着重从乘法扰动的角度讨论广义Cholesky分解扰动的情况，主 要结论见定理2—4；接下来，通过具体例子对两种扰动结论的精确程度作比较；文章最后是 几点注记． 1 加法扰动结论 定义 1[3】设 为实对称矩阵，若存在主对角元为正实数的下三角矩阵 和对角矩 阵J=diag(：t：1)，使得 K=LJL～，则称其为 的广义 Cholesky分解． 引理 14【】对称矩阵 存在唯一的广义 Cholesky分解的充分必要条件是： detA[k】≠0，k：1，2，…，n (其中detA[k】表示 的k阶顺序主子式)． 引理 2【】设 为实对称矩阵，其广义Cholesky分解为K=LJLTG为实对称矩阵， 设 AK：eG，e= ，如果 p((LLT)～△ )1，则K+AK有唯一的广义Cholesky I『』 ff2 分解 ． +AK=fL+AL)J(L+AL)T。 △L满足 AL=E(0)+D(E)． 其中L(0)由唯一的广义 Cholesky分解 +tG=L(t)JLT(￡)，ftl E， 确定，因此满足方程 LJLT(0)+L(O)JLT=G， 上T(0)=Jup(L一GL—T)T． 其中up和 low是矩阵函数，定义如下