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§18-8 势阱中的粒子 势垒 谐振子 1.一维无限深势阱 若质量为m的粒子,在保守力场的作用下,被限制在一定的范围内运动,其势函数称为势阱。 为了简化计算,提出理想模型——无限深势阱。 一维无限深势阱: a ? ? 保守力与势能之间的关系: 在势阱边界处,粒子要受到无限大、指向阱内的力,表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为: 解为: 一维无限深势阱 由边界条件得: 据归一化条件,得 得波函数表达式: 一维无限深势阱 (1)粒子能量不能取连续值 得 能量取分立值(能级),能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。 由 讨 论: 一维无限深势阱 (2)粒子的最小能量不等于零 最小能量 也称为基态能或零点能。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。 一维无限深势阱 (3)粒子在势阱内出现概率密度分布 不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。 量子论观点: 0 a =1 =2 =3 =4 n n n n 0 a 当 很大时, 量子概率分布就接近经典分布 经典观点: 一维无限深势阱 (4)有限深势阱,粒子出现的概率分布 如果势阱不是无限深,粒子的能量又低于势璧,粒子在阱外不远处出现的概率不为零。 0 a 经典理论无法解释,实验得到证实。 一维无限深势阱 得到两相邻能级的能量差 例题 18-15 设想一电子在无限深势阱,如果势阱宽度分别 为1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。 解: 根据势阱中的能量公式 当a=1cm时 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加,而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。 一维无限深势阱 在这种情况下,相邻能级间的距离是非常小的,我们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时 在这种情况下,相邻能级间的距离是非常大的,这时电子能量的量子化就明显的表现出来。 一维无限深势阱 可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减小。当 时 , 较之 要小的多。这时,能量的量子化效应就不显著了,可认为能量是连续的,经典图样和量子图样趋与一致。所以,经典物理可以看作是量子物理中量子数 时的极限情况。 当n1 时 ,能级的相对间隔近似为 一维无限深势阱 例题18-16 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置。 解: 一维无限深势阱中粒子的概率密度为 将上式对x求导一次,并令它等于零 因为在阱内,即 只有 一维无限深势阱 于是 由此解得最大值得位置为 例如 最大值位置 最大值位置 最大值位置 可见,概率密度最大值的数目和量子数n相等。 一维无限深势阱 这时最大值连成一片,峰状结构消失,概率分布成为均匀,与经典理论的结论趋于一致。 相邻两个最大值之间的距离 如果阱宽a不变,当 时 一维无限深势阱 2.一维势垒 隧道效应 一维方势阱如图 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒。 当 ,实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学的到解释。 设三个区域的波函数分别为 在各区域薛定谔方程分别为 令 为实数 一维势垒 解为: 一维势垒 三个区域中波函数的情况如图所示: 隧道效应 在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒. 此现象称为隧道效应。 贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比: 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 一维势垒 * *
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