1向量及其线性运算.ppt

4.1.1 三、向量的坐标表示 二、向量与向量的线性运算 一、空间直角坐标系 四、向量的模、方向角、方向余弦 向量及其线性运算 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 二 、向量的直观表示及其线 性运算 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 1、向量的概念 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 2、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 2. 向量的减法 三角不等式 3. 向量与数的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , “ ” 则 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 三 向量的坐标表示及其线性运算 z y O P Q R x M y O z x a 2、 用坐标表示向量的模和方向余弦 y z x P Q R 图7－12 M2 M1 例3. 设点 A 位于第一卦限, 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 解: 因 例6. -4k,求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量. 在 y 轴上的分向量为 故在 x 轴上的投影为 备用 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解： 为边的平 1. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，记向量分别为与轴正向相同的单位向量，它们称为直角坐标系的基本单位向量.空间内任一向量都能用基本单位向量表示. 设点是空间内一点，向量称为点M的向径.过点M分别作与坐标轴垂直的平面，交轴与（图7-10），根据向量做线性运算，容易证明： .=(x,y,z) 设向量的起点和终点的坐标分别为和，由图可看到 记 ，， 则有 ， 或简写成 . 上两式分别称为向量的的分解式与坐标表示式.有序数组()称为向量 的坐标. 设向量，由两点距离公式知，的模为 向量与三条坐标轴x，y，z轴正向的夹角称为 的方向角，三个方向角的余弦称为 的方向余弦.由图7-12知，当(是锐角时，直角三角形中， ， ， 当(是钝角时，上式也成立. 类似地，有 ， 三个等式平方相加，有. 如果以的三个方向余弦构成一个向量， 那么是与方向相同的单位向量. 例2 已知点和，求向量的模和方向余弦. 解 因为 所以 3 用坐标表示向量的线性运算 设向量，，则 ， 或写成 或写成 ， 其中(是数. 用坐标表示向量平行的充要条件 前面已提到向量平行的充要条件为，存在惟一的数(使 引入向量坐标以后，此条件又能写成 ， 即