1向量的概念及运算.ppt

* 高校理科通识教育平台数学课程 微积分学(二) 多元微积分学 空间解析几何 授课教师 孙学峰 ● 向量代数与 空间解析几何 向量的概念与运算.空间直角坐标系 向量的数量积、向量积、混合积 空间平面及其方程 空间直线及其方程 空间曲面及其方程 §1 向量的概念及向量的表示 一、向量的基本概念 1. 向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为向量.(或矢量) 2. 向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. A B 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或 ( 一 ) 向量的概念 3. 自由向量 自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质. 大小相等且方向相同, 特别: 模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的. 1. 向量加法. (1) 平行四边形法则 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作 (2) 三角形法则 将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为 ( 二 ) 向量的加减法 2. 向量加法的运算规律. (1) 交换律: (2) 结合律: 例如: 3. 向量减法. (1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作 (2) 向量减法. 规定: ? 平行四边形法则. 将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 ? 三角形法则. 将 之一平移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 1. 定义 实数?与向量 的 为一个向量. 其中: 当? 0时, 当? 0时, 当? = 0时, 2. 数与向量的乘积的运算规律: (1) 结合律: (2) 分配律: (? 0) (? 0) ( 三) 数与向量的乘法 结论: 设 表示与非零向量 同向的单位向量. 则 或 定理1 : 两个非零向量 平行 存在唯一实数?，使得 (方向相同或相反) 例1 : 在平行四边形ABCD中, 设AB= , AD = 试用 表示向量MA, MB, MC 和MD. 其中, M是平行四边形对角线的交点. 解: = AC = 2MC 有MC = 又 = BD = 2MD 有MD = MB = ?MD MA = ?MC D A B C M 1. 点在轴上投影 设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直平面?,平面?与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影. A A u ? ( 四 ) 向量在轴上的投影 2. 向量在轴上的投影. 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A? 和B? . 定义 B B A A u 向量AB在轴u上的投影向量或射影向量. 称有向线段A? B? 为 如果向量e为与轴u的正方向的单位向量， 则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作 即 则向量 AB 的投影向量 AB 有： B B A A u e 显然 ； || || || || 当 与u轴同向时， 当 与u轴反向时， 3. 两向量的夹角 设有非零向量 (起点同). 规定： 正向间位于0到?之间的那个夹角为 的夹角, 记为 或 (1) 若 同向，则 (2) 若 反向，则 (3) 若 不平行，则 4. 向量的投影性质. 定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为? 则 PrjuAB = || AB ||·cos ? B? B A? A u ? B1 ? ? 定理3 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。 推论: B? B A? A u C C? 即 即 定理4: 实数?与向量 的乘积在轴u上的投影，等于?乘以向量 在该轴上的投影。 二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系的建立 o z x y z x y x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点. o (一)