2-2空间向量的运算课件(北师大版选修2-1).ppt

§2　空间向量的运算 * * * a＋b 向量 a＋(－b) a－b a＋(b＋c) b＋a 向量 λa |λ||a| λ0 λ0 λ＝0 aλ(λ∈R) λa＋λb λa＋μa(λ∈R，μ∈R) λ(μa)(λ∈R，μ∈R) a＝λb b＝λa |a||b|·cos〈a，b〉 a·b b·a a·b＋a·c (λa)·b(λ∈R) a·b＝0 a0 课前探究学习 活页限时训练 课堂讲练互动 * * 【课标要求】掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理．掌握两个掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【核心扫描】空间两个向量共线定理、空间向量的线性运算及数量积．(重点)向量的数量积．(难点)向量夹角与数量积的关系．(疑点) 自学导引 ．空间向量的加法设a和b是空间两个向量，如图，过点O作＝a，＝b，则平行四边形的对角线OC对应的 就是a与b的和，记作．空间向量的减法与b的差定义为，记作，其中－b是b的相反向量． 3．空间向量加减法的运算律(1)结合律：(a＋b)＋c＝．(2)交换律：a＋b＝．数乘的定义空间向量a与实数λ的乘积是一个，记作．(1)|λa|＝．(2)当时，λa与a方向相同；当时，λa与a方向相反；当时，λa＝0. (3)交换律：λa＝．(4)分配律：λ(a＋b)＝．(λ＋μ)a＝．(5)结合律：(λμ)a＝．空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得或者． 6．(1)数量积的定义空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于．记作．(2)数量积的交换律：a·b＝．分配律：a·(b＋c)＝．(a·b)＝． (3)与数量积有关的结论|＝．s〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0)．向量a的单位向量对于任意一个非零向量a，把 叫做向量a的单位向量，记作，a与a方向相同． ：(1)类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？提示　数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|·cos θ的乘积．(2)＜a，b与，a的关系是怎样的？，b与，－b的关系呢？提示　，b＝，a，，－b＝－，b 名师点睛空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相同．在化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各个向量在图形中的表示，把空间向量转化为平面向量，并化到最简为止．封口多边形法则：＋＋＋…＋－1＝因此， 3．平面向量的数乘运算推广到空间向量的数乘运算及其运算律仍然是成立的．因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中b≠不可丢掉，否则实数λ不一定存在，且不一定唯一．如a≠0，b＝0，则λ不存在，a＝b＝0，则λ不唯一．在a＝λb中，对于确定的λ与b，a＝λb可以表示空间中与b平行且长度为|λb|的所有的向量． 6．向量的数量积是一个数量(数值)，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦的符号确定．两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要严格区分开来，数量积写成·b，而不能写成ab，亦不能写成a×b.·b的几何意义：a与b的数量积等于a的模与ba上的投影|b|〈a，b〉的乘积，也可等于b的模与a在b上的投影|a|〈a，b〉的乘积． 题型一　空间向量的线性运算 1】 已知平行六面体ABCDA，化简下列各向量表达式，并标出化简结果的向量．(1)＋；(2)＋＋；(3)＋；(4)(＋＋)．[思路探索] 利用空间向量加减法运算的平行四边形法则和三角形法则化简表达式，并给出合理的标注． 解　(1)＋＝(2)＋＋＝＋＋＝(3)在线段CC上取中点M，则有＝，则有：＋＋＝＋＋＝(4)由(2)知(＋＋)＝，在线段AC上取点G，使得AG＝，即：(＋＋)＝ 规律方法　对于向量算式的化简问题，要注意观察每步中所涉及的向量在图形中的位置特点及封口多边形法则的应用．特别注意：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为起点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广，可以称作空间向量加法的平行六面体法则． 【训练1】 已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋ 解　如图，(1)∵＝－＝－(＋)＝－－x＝y＝－(2)∵＋＝2，∴＝2－又∵＋＝2，∴＝2－从而有＝2－(2－)＝2－2＋＝2，y＝－2. 题型二　共线向量及应用【例2】 如图，在空间四边形ABCD