2-2连续型随机变量及其概率分布.ppt

返回 上页 下页 结束 §2.2 连续型随机变量及其概率分布 一.连续型随机变量及其概率密度 二.三种常用的连续型随机变量 均匀分布、指数分布、正态分布 * 一、连续型随机变量及其概率密度 定义 设 是随机变量， 集上的可积函数 满足 条件 则称 为连续型随机变量， 为 的概率密度 称 函数， 简称为概率密度. 有 且对于任意的实数a, b(a ? b), a也可为??, b也可为+?, (1) (2) 如果存在一个定义在实数 (3) * (1) (2) 易见概率密度具有下列性质： 注1： 上述性质有明显的几何意义. 反之， 可证一个函数若满足上述性质， 则该函数 一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函 数. * 注2. 连续型随机变量 取任一指定值 的 故对连续型随机变量 有 概率为0. * 设随机变量X具有概率密度 ⑴ 确定常数k； (2) 求P{1X≤7/2}. 例1 * * * 二. 三种常用的连续型随机变量 1. 均匀分布 定义 若连续型随机变量 的概率密度为 其它 易见， 记为 上服从均匀分布， 则称 在区间 * 注： 在区间 上服从均匀分布的随机变量 其取值落在 中任意等长度的子区间内的概率 是相同的， 且与子区间的长度成正比. 事实上， 子区间 任取 * 例2 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达 此站, 如果乘客到达此站时间 是 7:00 到 7:30 之 间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的 概率. 解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意 * 为使候车时间 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所 求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3. * 定义 若随机变量 的概率密度为 其中 则称 服从参数为 的指数分布， 简记为 易见， 的几何图形如图. 2. 指数分布 * 注： 指数分布常用来描述对某一事件发生的等待 时间， 例如， 乘客在公交车站等车的时间， 电子元件的寿命等， 服从指数分布的随机变量 具有无记忆性， 有 因而它在可靠性理论和 排队论中有广泛的应用. 即对任意 ( ) * * 若 表示某一元件的寿命， 使用了 小时， 它总共能使用至少 小时的条件 则 式表明： ( ) * 已知元件 概率与从开始使用时算起 率相等， 一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因. 即元件对它使用过 小时没有记忆, 它至少能使用 小时的概 具有这 * 例3 某元件的寿命 服从指数分布, 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时, 至 少已有一个损坏的概率. 解 由题设知, 的概率密度函数为 由此得到 * * 各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的, 用 表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数, 则 所求概率为 3. 正态分布 定义 若随机变量 的概率密度为 其中 和 都是常数， 则称 服 从参数为 和 的正态分布， 记为 * 注： 正态分布是概率论中最重要的连续型分布， 在十九世纪前叶由高斯加以推广， 故又常称为高 斯分布. 一般来说， 一个随机变量如果受到许多随机因素 的影响， 而其中每一个因素都不起主导作用， 则它服从正态分布. 例如， 产品的质量指标， 元 件的尺寸， 某地区成年男子的身高、体重， 测量 误差， 射击目标的水平或垂直偏差， 信号噪声， 农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布. 正态分布的图形特征 * 1. 密度曲线关于 对称； 2. 曲线当 时达到最大值 3. 曲线在 处有拐点且以 轴为渐 近线； * 标准正态分布 正态分布当 时称为标准正态分布， 此时， 其密度函数常用 表示： * 作业 习题二 2.4; 2.7; 2.11; 2.12; 2.16 * * 概率为0的事件不一定是不可能事件 概率为1的时间不一定是必然事件 * 返回 上页 下页 结束 * 概率为0的事件不一定是不可能事件 概率为1的时间不一定是必然事件 *