2-2随机变量的数字特征.ppt

契比雪夫资料 Pafnuty Chebyshev Born: 16 May 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia 一、随机变量的数学期望 二、随机变量的方差 2.2 随机变量的数字特征 三、随机变量的矩与切比雪夫不等式 数字特征-------反映r.v.分布的某些特征的数值，它更能集中、明显的反映r.v.统计规律性的某些层面。 分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的这些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. ◆ r.v.的平均取值 —— 数学期望 ◆ r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 频率 1 2 1 2 3 3 2 1 2 2 1 频数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中靶环数 一、随机变量的数学期望 引例 此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率为权重的加权平均，称为r.v.X的数学期望。 关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3)如果D.r.v.只取有限多个值，EX一定存在。 试问哪个射手技术较好? 例 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些. 2.连续型随机变量的数学期望 定义 设顾客在某银行窗口等待服务的时间为 X(以分计),其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间? 解 因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务. 例 顾客平均等待多长时间? 例 均匀分布 则有 结论: 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 例 3、随机变量函数的数学期望 定义 (2) r.v.函数的期望 2 P 1 0 X 解 练习： 求: 4、数学期望的性质 (3) 如果EX,EY存在，则E(X+Y)存在， 且E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) ； 1. 方差的定义 二、随机变量的方差 -----离差 -----绝对离差 定义： 注：（1）DX是一个确定的非负常数，它的大小反映了r.v.X对于EX的分散程度。 （2）若EX不存在，则DX一定不存在； 若EX存在，则DX不一定存在。 2. 随机变量方差的计算 3. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 (3) 设 X 是一个随机变量, a是常数, 则有 解 练习： （1）原点矩 定义： （2）性质 ① ② 注：DX为二阶中心矩。 2、切比雪夫不等式 ----r.v.X取值越集中在EX附近 ----r.v.X取值越分散 得 证明 对连续型随机变量的情况来证明. 注：可用此不等式对r.v.X的概率分布进行 粗略 的估计。