2-3 连续型随机变量及其概率密度.ppt

2.3　连续型随机变量及其概率密度 2. 三种重要的连续型随机变量 三、小结 高斯资料 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 正态分布的概率计算等有关问题在第４章讲解． 常见连续型随机变量的分布 均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布 * * 有关要点回顾 2．连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量. 1．离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量. ３. 离散型随机变量的分布律为 1. 2. （非负性） （归一性） 其中 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其概率分布. 下面学习连续型随机变量及其概率密度． １．连续型随机变量的概念 ２．三种重要的连续型随机变量 ３．小结 设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值: x1=a, x2, x3, x4,… ,xn=b． X 即小矩形的面积为Ｘ取对应点的概率 x1=a P x2 x3 s1 s2 s3 sn ……. xn=b ＝折线下面积之和！ １．连续型随机变量的概念 X的概率 直方图： (1) 定义的引出 若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 而且： X a P ……. b 由此推出连续 型随机变量 的定义 　设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x)，满足条件 1. 2. 对于任意的 3. 则称X是连续型随机变量， 称为X的概率密度函数,简称概率密度. (2) 连续型随机变量的定义 概率密度函数的性质 1) 2) 1 这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的充要条件. 3) X落入区间［a,b］内的概率＝ 注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 由此可得 这是因为 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. 若x是 f(x)的连续点，则： =f(x) (３) 对 f(x)的进一步理解 密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. 1 问题１：f (a)是Ｘ=a的概率吗？ 事实上，若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型r.v理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. P{X=a}=0 而 {X=a} 并非不可能事件. 可见， 由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B= 问题２：概率为零的事件一定是不可能事件吗？ 类似可知， 解 例1 得 (１) 均匀分布 均匀分布的意义 事实上，若X ～ U(a, b)，则对于满足 的c,d, 总有 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。 如公交系统中乘客随机乘车的等车时间． 解 设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且X的概率密度为 例2（等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率. 所求概率为 解 由题意,R 的概率密度为 故有 例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在 950 ~ 1050 的概率． 例4 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率. X 的分布密度函数为 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”, Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数. 解