2-32随即变量的数字特征-方差.ppt

第2.42节　方　差 二、重要概率分布的方差 备份题 有了二项分布的两个近似计算，可以总结一下二项分布问题中的计算方法的选择： (1) 当n为一个小的数时，可直接应用二项分布公式计算； (2) 当n是一个大的数，而且p值很小或接近于1，np不很大，则应用泊松分布近似计算； (3) 当n是一个大的数，p不是很小或不是接近于1时，可应用正态分布近似计算。 例1 某车间送检一批针剂，其中次品的概率是0.01，问抽检500支针剂，有5支次品的概率是多少? 解：抽检500支针剂中，检出次品的支数为X～B(k；500,0.01)，有5支次品的概率为 当 时, 二项分布 以 泊松分布 为极限分布。 由于用二项分布公式直接计算难度很大，又n=500，因此可以近似化为泊松分布来计算，即是 当 时, 二项分布 以 正态分布 为极限分布。 例2 对于某一癌症高发病地区进行普查结果，其患癌症的概率是0.005，现有这地区一万人的乡村，试推测： (1) 这个乡有70人患癌症的概率；(2) 有30至50人患癌症的概率；(3) 有不少于50人患癌症的概率。 解 全乡1万人中患癌症人数X服从二项分布。因为n=104,p=0.005,np=104×0.005=50，可用正态近似计算。 故有70人患癌症的概率为0.001；有30至50人患癌症的概率为0.4977；全乡不少于50人患癌症的概率为0.5557。 * * 一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要概率分布的方差 由第一节我们知道，随机变量的数学期望 可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期 望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们 仍用类似于第一节中的例子来说明。 假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的 环数分别为 容易算得，二人击中环数的平均值都是 8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的 更稳定？ 甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9 乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手中哪一个击中的环 数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定 一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距 平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应 由偏差的绝对值之和求平均更合适。 对于甲选手，偏差绝对值之和为： 对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为 10.8 环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为 0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平 发挥更稳定些。 类似的，为了避免运算式中出现绝对值 符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。 1. 方差的定义 (定义3.3) 一、随机变量方差的概念及性质 　　方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好. 2. 方差的意义 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 3. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 证明 (2) 利用公式计算 1. 两点分布 已知随机变量 X 的分布律为 则有 2. 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 3. 泊松分布 则有 4. 均匀分布 则有 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 6. 正态分布 则有 证明 三. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证明 (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 解 例1 解 例2 因此有 2-3.3 变异系数 用方差或标准差描述一个随机变量取值的离散程度 固然满意，但是当比较两个变量取值的离散程度时， 如果两个变量的均数相差悬殊或者取值单位不同时， 这时用方差和标准差就不行了。为此引入一个数字 特征 称为随机变量X的变异系数，记为CVX； 它就是X的标准差与均数的比，即 §2-5 三种重要分布的渐近关系 离散型变量的二项分布、泊松分布和连续型变