2-4 连续型随机变量及其概率密度.ppt

函数与极限 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结 正态分布的分布函数 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 显然有 ? (? x) = 1 ? ?(x) . 标准正态分布的图形 解 例 * * * 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结 第四节　连续型随机变量 及其概率密度 1.定义 显然, 连续型随机变量的分布函数是连续函数. 如果对于随机变量 X 的分布函数F(x), 存在非负函数 f (x), 使得对于任意 x 有 则称 X 为连续型随机变量. 其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数. 简称概率密度. 证明 性质 证明 同时得以下计算公式 几何解释: f (x) 1 f (x) x1 x2 1 说明: 由性质4, 在 f (x) 的连续点处 密度函数的由来. 注意1 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 证明 由此可得 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 可能事件，则有 若 X 为离散型随机变量, 注意2 连 续 型 离 散 型 注意3 特别随机变量 X 的“概率分布”指其分布函数; 或当X 是连续型时指的是它的概率密度, X 是离散型时指的是它的分布律. 解 例1 例 故有 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 1. 均匀分布 概率密度 函数图形 设连续型随机变量具有概率密度 则称 X 在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X ~ U(a, b). 均匀分布的意义 分布函数 解 由题意,R 的概率密度为 故有 例2 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在 950 ~ 1050 的概率． 例 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. X 的分布密度函数为 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 解 即 A={ X 3 }. 因而有 设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 2. 指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布. 应用与背景 分布函数 例如, 若 X 是某一元件的寿命, 这一性质表明已知这元件使用了s 小时, 它总共使用至少 s + t 小时的条件概率与从开始使用时算起至少能使用 t 小时的概率相等.即元件对它已使用 s 小时没有记忆. 注意：对?s, t 0, P{X s + t | X s} = P{X t} 这一性质称为无记忆性， 例 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. X 的分布函数为 解 3. 正态分布(或高斯分布) 正态分布的性质 1) 概率密度的合理性 证明 令 得 而 因此 2)正态概率密度函数的几何特征 (1) 曲线关于 x = ? 对称. 即对任意 h 0, P{? ? h X ? ? } = P{? X ? ? + h}. * *