2-4数学期望的定义与性质.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * 一、随机变量的数学期望 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 四、小结 2.4 数学期望的定义与性质 离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。 一、随机变量的数学期望 引例 某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手表的日走误差，数据如下： 这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为： 记作 为事件“日走时误差为k秒”的频率： 平均值= 1. 离散型随机变量的数学期望 思考 ：1、为什么要绝对收敛？ 2、若不绝对收敛会有什么结果？ 设离散型随机变量 的可能的取值为 ，其分布列为 若 绝对收敛，则称随机变量 存在数学期望 关于定义的两点说明 (1) 是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 取可能值的真正平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 试问哪个射手技术较好? 例1 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技术比较好. 例2 二项分布 则有 设随机变量 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布列为 则两点分布b(1,p)的数学期望为 p. =np 例3 泊松分布 则有 例 4 在某地区进行某种疾病普查，为此要检查 每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验需要N次，有没有办法减少检验的工作量？ 析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的 结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而 每人只需检验1/k次；否则，对这k人逐一检验即 可，则这k人每人需检验(1+1/k)次，从而k个人需 要检验总次数可能是1或是(1+k)次，是一随机变量。 例5 几何分布 则有 若g(x)为 的单值函数, 1. 一维离散型随机变量函数的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 证明 由数学期望的定义有： 定理 2.3 若 是二维随机变量，其联合分布列为 又 是实变量 的单值函数，如果 2. 二维离散型随机变量函数的数学期望 1 证明 三、数学期望的性质 解 例6 四、小结 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质 作业：27；31；32；33 3. 常见离散型随机变量的数学期望 　　根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少元? 例1 你知道自己该交多少保险费吗? 备份题 解 设1年中死亡人数为X , 被保险人所得赔偿金的期望值应为 若设每人一年须交保险费为a 元, 由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知 故每人1年应向保险公司交保险费4元. 解 例2 设 求: 到站时刻 概率 例3 解 * * * * * * * * * * * * * * * * * *