2-4概率统计第二章经典讲义.ppt

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. §4 连续型随机变量及其概率密度 对于随机变量 X的分布函数F(x),如果存在非负函数f(x) , 使得对任意实数x有 则称 X为连续型r.v., f(x)为 X 的概率密度函数， 简称概率密度. 连续型r.v.及其概率密度函数的定义 1 o 2 o 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.v.X的概 率密度函数的充要条件. f (x) x o 面积为1 3 o 概率密度函数的性质 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. =f(x) 若x是 f(x)的连续点，则： 40 若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型r.v.理论中所起的作用与 在离散型r.v.理论中所起的 作用相类似. 5 0 连续型r.v.取任一指定值的概率为0. 即： a为任一指定值 这是因为 说明 1) 对连续型 r.v. X,有 2) 由P(X=a)=0 可推知 而 {X=a} 并非不可能事件, 由此可见， 由P(A)=0, 不能推出 并非必然事件 由P(B)=1, 不能推出 B = 即分布函数是密度函数的变上限定积分. 若 X 是连续型r.v.， X ～ f (x) , 则 F(x) = P(X x) = 且在 f (x)的连续点， 连续型 r.v.的分布函数 例1 设r.v.X的概率密度为 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P{1X≤7/2}. 正态分布是应用最广泛的一种连续型r.v.的分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 1. 正态分布 三种重要的连续型r.v. (1) 正态分布的定义 若r.v. X 的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0，则 称X服从参数为 和 的正态分布. (２)　正态分布 的图形特点 正态分布密度函数的曲线是一条关于 对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 　决定了图形的中心位置， 决定了 图形中峰的陡峭程度. 故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值: 令x=μ+c, x=μ-c (c0), 分别代入f (x), 可得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x→ ?∞时，f(x) → 0, 用求导的方法可以证明， 为f (x)的两个拐点的横坐标。 x = μ ? σ 例2 下面是我们用某大学大学生的身高数据画出的频率直方图。 红线是拟合的正态密度曲线 可见，某大学大学生的身高服从正态分布。 　　人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这反映了服从正态分布的随机变量的特点。 除了身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸、纤维的强度和张力、农作物的产量、小麦的穗长和株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布. (3) 设X~ , X的分布函数是 (4) 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. ,则 ~N(0,1)