2-4随机变量函数分布.ppt

2.3节(三) 相互独立的随机变量 第2.4节 随机变量函数的分布 一、两个随机变量的相互独立 1、定义 说明： 2、主要性质 例1 二维离散型随机变量 (X,Y)联合分布律、边际分布律如下表：问X、Y是否相互独立？ 1 1/3 2/3 P(X=i) 1/2 1/2 1/6 2/6 1/6 2/6 1 2 P(Y=j) 0 1 Y \ X 所以，X，Y相互独立。 所以，X，Y相互独立。 主要内容 一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。 1、离散型Y=g(X)； 2、连续型Y=g(X)(重点） 二、二维 (X, Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y)的分布 2、Z=X+Y的分布(重点） 问题的提出 实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣. 1、已知圆的直径 d 的分布，求园的面积S= ?d 2 的分布. 例如： 2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求 位移S=vt的分布. 归纳：1、随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ，求 Y 的分布？ 2、设随机变量(X,Y)的联合分布已知，Z=g (X,Y) , 如何 由 (X,Y) 的分布求 Z的分布？ 一、离散型随机变量函数Y=G(X)的分布 解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13 {X=a}与{Y=2a+3}两事件同时发生，两者具有相同的概率. 故 0.2 0.3 0.4 0.1 P 81 100 121 144 Y 9 10 11 12 X 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 P 2 0 0 2 6 Y -2 -1 0 1 2 X 0.2 0.5 0.3 P 0 2 6 Y 再对等值合并 2、连续型Y=g(X) 设函数Y=g(X)严格单调(递增) Y=g(X)非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。 解：设X，U的分布函数分别为 FX (x) , FU(u) U 的概率密度 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 解： 设Y和X的分布函数分别为 ， 则 Y=X2 的概率密度为： 启示：从例4-5中看到，在求F(y)=P(Y≤y) 过程中，关键就是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X，从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 . 目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率. 求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。 二、二维(X,Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y) 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 -1 2 - 1 1 2 X \ Y 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 P (-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2) （X，Y） 解: 将(X,Y)及各函数值列表如下： 合并后可得各变量的分布律如下： 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 P - 2 0 1 3 4 Z=X+Y 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20 P - 3 -2 0 1 3 W=X-Y 设(X，Y)的联合概率密度为 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度. 分析: Z=X+Y的分布函数是 积分区域D={(x, y): x+y ≤z}是直线x+y =z 左下方半平面 2、Z=X+Y的分布(重点） FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) Z=X+Y的概率密度为 由对称性 特别: 当X和Y独立时，设(X,Y) 的边际密度为fX(x) , fY(y) 卷积公式 解