2-4随机变量函数的分布.ppt

一、离散型随机变量函数的分布 第 一 种 情 形 第 二 种 情 形 * * 河北理工大学轻工学院 张艳娟 第二章 随机变量及其分布 第二节 随机变量的分布函数 第三节 连续型随机变量及其概率密度函数 第一节 离散型随机变量及其分布律 第四节 随机变量函数的分布 第四节 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 问 题 的 提 出 人们常常对随机变量的函数更感兴趣.因此在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征 , 即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律。 例：已知t = t0 时刻噪声电压V的分布， 求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等. 求截面面积 A= 的分布. 再比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 设随机变量X的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数), 如何由X的分布求出Y的分布？ 问 题： 定义 一般方法是先根据自变量X的可能取值确定因 变量Y的所有可能取值, 然后对Y的每一个可能 如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布? 取值y , i=1,2,…, 确定相应的概率 例1 随机变量X的概率分布列为 3 4 P(X=k) 5 2 1 0 X (2)Y有可能取的值为 0，1，4, 9. 且Y=0对应于(X-2)2=0,解得X=2， 同理 7 9 P(Y=k) 11 5 3 1 Y 所以, P{Y=0}=P{X=2}=1/3, P(X=k) 9 4 1 0 X 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 故 练习 二、连续型随机变量函数的分布 一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机 量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数. 续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变 变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连 解题思路 例2 设随机变量X具有概率密度 求Y = X 2的概率密度. 解： (1)先求Y = X 的分布函数 FY( y )： 例如,设 X~N(0,1),其概率密度为： 则Y = X 2 的概率密度为： 则Y =g(X )是一个连续型随机变量Y，其概率密 其中h (y)是g (x)的反函数,即 定理:设随机变量 X 具有概率密度 度为 证明: