2-5随机变量函数的分布.ppt

* * §2.6 随机变量函数的分布 在实际中，我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得到（如圆柱截面面积的测量值等）但是与它们有关系的另一些随机变量，其分布却是容易知道的（如轴截面直径的测量值）。因此，要研究随机变量之间的关系，从而通过他们之间的关系由已知的随机变量分布求出与之有关的另一随机变量的分布。 求截面面积 A= 的分布. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 且它是自变量为随机变量的函数。 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 一、基本概念 是随机变量，那么这个函数本身也随机变量，并 设函数 是定义在随机变量X的一切可能值 的集合上的连续函数，如果X 取 时，随机变量 Y 取值为 ，称随机变量 是随机 变量X 的函数。也就是说，一个函数的自变量 设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 在这一节里，我们要解决的问题是： 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， 而且X 取某值与Y 取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 故 Y～ 0.3 0.5 0.2 P 13 7 5 Y Y 取对应值 5，7，13， 求 Y = 2X + 3 的概率函数. 例1 设X ～ 0.3 0.5 0.2 P 5 2 1 X 一般地，若X是离散型 R.V X的概率函数为 X ～ P X Y ～ P Y 则 如果 中有某些值是相同的，则把那些相等 的值分别合并，并把对应的概率相加即可. 例2 设X ～ 0.2 0.1 0.5 0.2 P -1 0 1 2 X 求 的概率分布函数. 解：Y的所有可能取值为1，2，5， Y ～ 0.1 0.7 0.2 P 1 2 5 Y 因而 例3 已知随机变量X 的分布律为： 求 的分布律。 解：Y的所有可能取值为-1，0，1， Y ～ 2/15 1/3 8/15 P -1 0 1 Y 因而 三、连续型随机变量函数的分布 已知随机变量X～ ，求出 的密度函数，即 ～ . 解：设Y的分布函数为 FY(y)， 例4 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P( Y y ) = P (2X+8 y ) =P（ X ） = FX( ) 于是Y 的密度函数 故 注意到 0 x 4 时， 此时 Y=2X+8 即 8 y 16 时， 由此可见，求连续型随机变量Y函数的密度 数建立了一定的关系，然后利用分布函数与密 函数的方法是：首先将Y的分布函数在y处的函 转化为X的分布函数在 处的函数 数值 值 ，这样将Y的分布函数与X的分布函 称为“分布函数法”。 度函数的关系，求出Y 的密度函数。这种方法 已知随机变量X～ ，求出 的密度函数，即 ～ 的步骤： ① 建立随机变量X的分布函数 与随机 变量Y的分布函数 的关系式； ②利用上述的关系式求随机变量Y 的密度 函数 ，得到随机变量X的 ③ 将已知随机变量X的密度函数代入上面的 密度函数 与随机变量Y的密度函数 的关系式； 关系式. 例5 若 ～ ，求 的密度函数。 解：已知 ～ 建立X与Y 的分布函数的关系 将 已知代入 建立X与Y 的密度函数的关系 例6 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 求导可得 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 解： 设Y 和X 的分布函数分别为 和 ， 若 则 Y=X2 的概率密度为： 二维随机变量函数的分布 基本任务: 已知二维随机变量(X,Y)的分布, 求随机变量 的分布. 一个二元函数，则称 为二维随机变量 设（X,Y）是二维随机变量， 是 是一维 （X,Y）的函数。（注意： 随机变量），有： 例6 设(X,Y)的联合分布律为 分别求X-Y和XY的分布律. 1. 离散