2-6距离的计算课件(北师大版选修2-1).ppt

* * §6　距离的计算 AA′ 正射影 垂直相交 一条 公垂线段 长度 课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练 * 【课标要求】掌握向量长度计算公式．会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离．【核心扫描】理解立体几何中点到直线的距离和点到平面的距离的基本概念．(重点)各种距离的求解和计算方法．(重点、难点)处理距离问题时，平面法向量的求解易出错．(疑点) 自学导引 ．两点间的距离的求法设a＝(a，a，a)，则|a|＝ ，若A(x，y，z)，(x2，y，z)，则d＝＝ 2．点到直线的距离(1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A到直线l的距离问题就是空间中某一个平面内的点A在该平面内做垂直于l的直线，垂足为A′，则即为点A到直线l的距离．(2)计算公式：d＝ ＝ 3．点到平面的距离一点到它在一个平面内的的距离叫做这一点到这个平面的距离，如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离d＝ 若n是平面α的单位法向量，则d＝ | 4．异面直线的距离(1)和两条异面直线都的直线叫做两条异面直线的公垂线．任意两条异面直线有且只有公垂线．(2)两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的，两条异面直线的公垂线段的叫做两条异面直线的距离． ：空间距离有几种形式，它们之间有何关系？提示　空间距离有6种形式，它们分别是点点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距．它们一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解． 名师点睛用向量的方法求空间中的距离(1)点到直线的距离的求法：已知空间一点P，直线l过点A，与直线l垂直的一个向量为n，则点P到直线l的距离为 (2)点到平面的距离的求法：如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．若AB是平面α的任意一条斜线段．则在中，|＝|＝，如果令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为|＝因此要求一个点到 ②找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于＝n可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d＝| (3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解．(4)两异面直线距离的求法：如图所示，设l，l是两条异面直线，n是l，l的公垂线段AB的方向向量，又C，D分别是l，l上的任意一点，则l与l之间的距离d＝|＝ 题型一　点到直线的距离 【例1】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA＝5，求点A到下列直线的距离．(1)直线AC；(2)直线BD.[思路探索] (1)AA1即为所求；(2)建系，利用向量坐标计算，确定直线BD的一个方向向量，代入公式求解． 解　(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，显然AA，所以AA＝5即为所求点A到直线AC的距离．(2)如图建立空间直角坐标系，则有(4，3，0)，A(4，0，5)．＝(4，3，0)，＝(4，0，5)，＝， 设点A到直线BD的距离为d.所以d＝规律方法　本题(1)利用基本定义直接求解距离，(2)利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解． 【训练1】 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)．. B. C. D. 解析　如图所示，＝(2，0，0)．＝(1，0，2)，＝＝，＝＝＝， A到直线BE的距离d＝＝ ＝答案　 题型二　点到平面的距离【例2】 直三棱ABC-A1B1C1的侧棱AA＝，底面△ABC中，∠C＝90，＝＝1，求点B到平面A的距离．[思路探索] 解　如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，(1，0，)，(0，1, )，(0，0，)．＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)．设平面A的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则? 即n＝(－，0，1)，所以，点B到平面ABC的距离d＝＝规律方法　本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出这个距离有很大的困难，利用向量方法求解较为容易． 【训练2】 四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离． (1)证明　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)、