2.1 随机变量及其分布.ppt

随机变量与普通函数的区别 在实际问题中，有两类重要的随机变量： 2、连续型随机变量——取值充满一个区间 二、分布函数 【例1】 概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫 * §1、随机变量及其分布函数 随机变量就是“取值随机会而定”的变量，正如 随机事件是“发生与否随机会而定”的事件。机会表 现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果， 到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。 例如，掷一枚骰子出现的点数X就是一个随机 变量，它可以取1,2,3,4,5,6的六个值，到底取哪个值 要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验 结果的函数。 引例1 设随机试验E：抛一枚硬币，观察正面 H与反面T的出现情况。 样本空间为Ω={H，T}，现在我们将试验的每个结果(样本点)与一个实数建立联系,即相当于在Ω上定义一个函数: 这样一来,“出现正面H”的事件为{X=1}, “出现反面 T”的事件为{X=0},且易知 引例2 设随机试验E：测试灯泡寿命(小时). 样本空间为Ω ={t|t≥0}，现在我们将试验的灯泡寿命记为X,令 事件“灯炮寿命在1000～2500小时”就可表示为 则X是定义在样本空间为Ω ={t|t≥0}上的函数，其值域 为| 且取值具有随机性. 一、随机变量 X=X(ω) (ω ∈Ω) 为随机变量,记为r.v.X.(random variable X)。 定义1 设随机试验E的样本空间为Ω ={ω},称定义在Ω上单值实值函数 随机变量是定义在样本空间Ω上的单值实值函数, 且以一定的概率随机地取每个值. 随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ?,η, ζ,….等表示. ? 普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数); ? 普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在一次试验前无法确定它取何值. 用随机变量来描述随机事件 一般,对于任意实数集L,随机变量X在L上取值,记 为{X∈L},它表示事件{ω|X(ω)∈L},即一切使随机变量X取值在L上的样本点所构成的事件,从而 在随机试验E的样本空间Ω上定义了一个随机变量后，就可以利用它来表示随机事件。 可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概 念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。 例:在试验E:“掷一枚骰子,观察出现的点数”中, 如果定义随机变量 X=k(ω=“出现k点”,k=1,2,3,4,5,6), 则事件“出现偶数点”就可表示为 显然,{X∈{1,3,5}}表示“出现奇数点”, {X1}为不可能事件,{X∈R}为必然事件,等等. {X∈{2,4,6}}, 事件“出现3点”就可表示为 {X=3}. 总之，随机变量X有如下特点: ? X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ; ? 利用X可以描述随机事件; ? X的取值是随机的,且取值具有一定的概率. 随机变量 离散型 非离散型 连续型 其它 1、离散型随机变量——取值有限或可列无限 实例1 观察掷一个骰子出现的点数。随机变量X的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶数 点”就可以表示为{X∈L}={ω|X(ω) ∈L},其中 L={2,4,6}；事件“出现3点”可表示为{X=3}； {X1}为不肯能事件；{X∈R }为必然事件； 实例2 若随机变量X记为“连续射击，直至命中时的 射击次数”，则X可能值1，2，3，… 实例1 随变量X为“灯泡的寿命“，则X的取值 范围为 ; 实例2 随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误 差”，X的取值范围为(a,b)的任意值。 定义2 设X为随机变量,x为任意实数,函数 称为随机变量X分布函数。 分布函数F(x)是随机事件{X≤x}