2.1 随机变量及分布函数.ppt

随机变量的分布函数 电子科技大学 一、随机变量 §2.1 随机变量及分布函数 上述变量都定义在样本空间上,具有以下特点： (1) 变量的取值由随机试验的结果来确定; (2) 取各数值的可能性大小有确定的统计规律性. 随机变量的实例 上述变量称为随机变量,它可以完整地描述试验结果，从而可用量化分析方法来研究随机现象的统计规律性. 随机变量的引进是概率论发展 进程中的一次飞跃 引进随机变量是将随机试验数量化，是对随机现象进行量化分析的重要手段. 定义：设E 的样本空间为W，对于每一个样本点w∈ W，都有唯一实数X(w)与之对应, 且对于任意实数x，事件{ w| X(w) ≤ x }都有确定的概率，则称X(w) 为随机变量，简记为X. 摸彩赌博 例子 注 且使P{X≤x}总有意义. 1)将样本空间数值化、变量化(但不同于通 常非随机变量)； 随机变量的优越性 2)可以完整地描述随机试验； 3)可用微积分等数学工具来解决随机问题. 二、分布函数 从随机变量定义可见，对任一实数 x 都有实数P{ w| X(w) ≤ x } 与之对应，即构造了一个函数. 定义 设X是一个随机变量， x 是任意实数，称函数 F( x ) = P{ X ≤ x } = P{ w: X(w) ≤ x }, 为随机变量X 的分布函数, F( x ) 也记为FX( x ). 注1 分布函数F( x )的函数值表示事件 “随机点X落在(－∞, x ]内” 的概率. O x X x 注2 F( x )的改变量 DF = F( x +Dx) － F( x ) = P{x X≤ x +Dx } O x x x+Dx X 是事件“随机点X 落在(x , x +Dx ]内”概率. 例如 摸球试验 射击试验 分布函数的性质： （1） F( x ) 为单调不降函数, 即若 x1 ＜ x2 ，则有F( x1 ) ≤ F( x2 ) . （2） 0≤F( x ) ≤1，且 （3） F( x ) 是右连续函数, 即 F( x +0 ) = F( x ) 从而有 P{X= x}=F( x) －F( x-0 ) 可用分布函数的性质确定某一函数是否为随机变量的分布函数，或用来求解分布函数. 例如 分布函数的确定 E2 测量某零件长度 x 和直径y 产生的误差. E1 抛一枚硬币,观察其出现正面H和反面T的情况. 用Z 表示抛一次硬币时出现正面的次数,则 Z(H )=1，Z(T )=0. 生的误差,则 分别表示测量零件长度和直径产 用 和 eX eY # 用Y表示检查 N 件产品中的次品数，有 E3 检验 N 件产品中的次品 Y(k)=k, k∈Ω3, Ω3={0, 1, 2, …, N}. E4 用 X表示人的身高,有 X(x) = x, x ∈Ω4=(0, ＋∞) 共同特点:以上变量都是定义在样本空间 上的变量. 例1 一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋子. 规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从袋中摸出五个棋子，按下面“摸子中彩表”给“彩金”. 共乐一次 5分 2角 2元 彩金 其它 三个白 四个白 五个白 摸到 解 用{ i }表示“摸出的五个棋子中有 i 个白子” ，则试验的样本空间为 Ω = {0，1，2，3，4，5} 用Y (单位:元)表示赌徒摸一次得到的彩金，则有 Y ( i ) = 0，i = 0，1，2 Y ( 3 ) = 0.05， Y ( 4 ) =0.2，Y ( 5 ) = 2 Y 是定义在Ω上的随机变量, 对于每一个 i∈Ω , 都有一个实数与之对应. 并且 对于任意实数x，{X(ω)≤ x }是一个随机事件，从而有确定的概率. 例如 彩金不到两元的概率接近99%. 总结 从本例中可看到，随机变量Y完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件个别进行讨论. # 进一步，可将微积分等数学工具用于对随机试验的分析. 例2 一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码X 的分布函数. 解：由题意有 当x - 1时, F(x) = P{ X≤x } = P(f ) = 0. x 1 O -1 2 3 x X 当-1 ≤ x 2时, F(x) = P{X≤x } = P{X = - 1 } = 1/6 . x 1 O -1 2 3 x X 当2 ≤ x 3时, F(x) = P