随机变量函数与其分布.pdf

3.3 随机变量的函数及 其分布 一、博雷尔函数与随机变量的函数 二、单个随机变量的函数的分布律 三、随机向量的函数的分布律 四、随机向量的变换 五、随机变量函数的独立性 一、 博雷尔函数与随机变量的 函数 1 引例 在实际应用问题中，有时需要研究多维随机变 量的函数的概率分布. 例如，鱼雷在水下运动时， 其速度的三个分量 v ,v , v 都是随机变量，若已知 x y z v ,v ,v 的联合分布，如何计算其动能 x y z 1 2 2 2 ( ) E m v v v 的分布. 2 x y z 2 博雷尔函数 1 1 定义3.3.1 设有y g (x )是R 到R 上的一个映照， 1 若对于一切R 中的博雷尔点集B 均有 1 {x :g (x ) B } 1 1 1 其中为R 上的博雷尔域，则称g (x )是一元博雷 1 尔 （可测 ）函数 注 所有的连续函数与单调函数都是博雷尔函数 n 1 定义3.3.2 设有y g (x , x , , x )是R 到R 上的 1 2 n 1 一个映照，若对于一切R 中的博雷尔点集B 均有 1 {(x ,x ,,x ) :g (x ,x ,,x ) B } 1 2 n 1 2 n 1 n n 其中 为R 上的博雷尔域，则称g (x , x , , x )是 n 1 2 n n元博雷尔（可测）函数 3 随机变量的函数 若是概率空间(,  , P )上的随机变量，而g(x)是 一元博雷尔函数，则g ()是(, ,P )上的随机变量. 4 离散型随机变量的函数的分布 问题  如何根据已知的随机变量 的 分布求得随机变量 g ()的分布? 例 设 的分布律为   1 0 1 2 1 1 1 1