2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系.ppt

* * 观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系: 定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线 空间两直线的位置关系 （1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点,则两直线相交 两平行直线 ②没有公共点则 两直线为异面直线 （2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内则两直线为异面直线。 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(一) 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 一、平行直线 变形1:若把平面四边形ABCD延AC折起.问四边形EFGH的形状. 例2. P是三角形ABC所在平面外的一点，D，E分别是三角形PAB和三角形PBC的重心. 求证：DE∥AC， DE=(1/3)AC. P A C B M N D E 证明：连接PD,PE并延长交AB,BC与M,N.连接MN ∵D，E分别是三角形PAB和 三角形PBC的重心， ∴M,N分别是三角形PAB和三角形PBC的中点 ∴MN∥AC且MN=1/2AC ⑴ 在三角形PMN中,∵PD/PM=PE/PN=2/3 ∴DE∥MN,且DE=2/3MN ⑵ 由(1)(2),根据公理4得DE∥AC， DE=1/3AC 二、相交直线 (1) (2) 作图时，通常用一个或两个平面衬托 1.定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 2.异面直线的画法 三、异面直线 练习:两条异面直线指的是 ( ) A. 没有公共点的两条直线 B. 分别位于两个不同平面的两条直线 C. 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D. 不同在任何一个平面内的两条直线 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 在平面内，若两条直线相交，我们用“夹角”这一概念定量地刻画它们的关系。在空间中，我们应该怎样刻画两条异面直线的关系呢？ 3.异面直线所成角 已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O，分 别作直线a1∥a，b1∥b，我们把直线a1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 说明:①异面直线a和b所成的角的范围： ②异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关； ③异面直线a和b所成的角的作法步骤. a α a1 b1 O b a α O θ b 例4. 如图，正方体中，求 (1)A1D与AC所成的角; (2)A1C1与D1B所成的角. A B C D A1 B1 C1 D1 解法步骤：作，证，算 特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 α H α 相交垂直(有垂足) 异面垂直(无垂足) 例5.如图，在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝6，AC＝6，BD＝8，则异面直线AC与BD的所成角的余弦值为多少？ A B C D E F G 说明：异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 4.异面直线的证法 例6.求证:平面外一直线与平面相交,则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面. a b 异面直线的判定定理:平面外一直线与平面相交,则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面. 练:如图,a,b是异面直线， E,F分别是线段Ac,BD的中点.判断直线EF与a的位置关系. (2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？ 四、直线与直线的位置关系 例8.(1)一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 可能平行,可能相交,可能异面 5.异面直线的距离 思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？ 与这两条异面直线都垂直相交的直线有多少条？ 定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线 定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫 两异面直线的距离 例9.设图中的正方体的棱长为a， A1 A B B1 C