2.1n维向量及其运算.ppt

第二章 n维向量 §2.1 n维向量及其运算 ?? §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 向量是现代数学各领域中最基本的概念， 本章将着重介绍n维向量的线性运算， 线性相关性，向量组的极大线性无关性和 秩等概念。并讨论与之相关的一些性质， 念及n维向量的内积性、正交性。 本章后半部分我们介绍向量空间的基本概 也是线性代数讨论的最重要的对象之一。 二. n维向量(vector)的概念 n 维 向 量 本 质 表现形式 几何背景 n个数a1, a2, …, an 构成的有序数组 向量/点的坐标 列矩阵 行矩阵 行向量 列向量 ? 第二章 n维列向量 §2.1 n维向量及其运算 定义2.1 称由 n个数a1, a2, …, an 构成的有 序数组为向量 一般地, n 维向量可以写成行的形式 ( 称 行向量), 也可以写成列的形式(称列向量). 其中, ai称为这个向量的第i个分量, 又因为 这个向量有n 个分量, 所以也称为n 维向量 注:本书未另加说明的情况下，均指实向量, 且运算与性质与矩阵一般相同。 ? 第二章 n维列向量 §2.1 n维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同（P4矩阵的线性运算） 三. n维向量的线性运算 与矩阵的线性运算性质相同（P4） 四. n维向量的线性运算性质 n维向量: ?1, ?2, …, ?s 五. 线性组合(linear combination) 数(scalars): k1, k2, …, ks 线性组合: k1?1+k2?2+…+ks?s ? §2.1 n维向量及其运算 ? = k1?1+k2?2+…+ks?s n维向量: ?, ?1, ?2, …, ?s 若存在常数: k1, k2, …, ks使得 则称?能由向量组?1, ?2, …, ?s线性表示 (? can be linearly represented by ?1, …) 第二章 n维列向量 六. 线性表示(linear representation) ? §2.1 n维向量及其运算 例如 n维基本单位向量组 ?1 = 1 0 0 … , ?2 = 0 1 0 … , ?n = 0 0 1 … . …, 第二章 n维列向量 standard/natural basis of Rn ? §2.1 n维向量及其运算 任何一个n维向量 ? = a1 a2 an … 都能由?1, ?2, …, ?n线性表示. ? = a1 1 0 0 … + a2 0 1 0 … + … + an 0 0 1 … . 事实上, 第二章 n维列向量 例2.1 判断下列给定向量η是否可以由相应的向 量组线性表示： （1） 向量组是 （2） 向量组是 （3） 向量组是 解：(1)经过观察可知， 组合系数就是 的各个分量。故 可以由 线性表示。 (2) 设 根据它们分量之间 得方程组 的关系， 容易求得这个方程组的解为， 故可以线性表示，即 设 根据它们的分量相等，有 显然无解，故不能线性表示。 我们称上面例子中 为 维基本单位 向量组。任意n维向量都可以由基本单位向量组 唯一的线性表示。在几何中，基本单位向量组 与直角坐标系中的单位坐标矢量相当。