2.1二维随机变量及其联合分布.ppt

前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。 二维随机变量的联合分布函数 若（X，Y）是随机变量， 对于任意的实数x,y. 二维离散型随机变量 若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。 若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式 * * * * 二维随机变量及其分布 第三章 二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布 例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。 不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。 设X、Y 为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为Ω上的一个二维随机变量。 定义 二维随机变量 二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点 （x，y） A 定义 称为二维随机变量的联合分布函数 性质 (3) (x,y) x1 x2 y1 y2 P（x1? X ?x2，y1? Y ?y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1) 联合分布函数表示矩形域概率 P（x1 ? X ? x2，y1 ? Y ? y2） F(x2,y2) -F(x2,y1) -F(x1,y2) +F(x1,y1) 如何反映（X，Y）的取值规律呢？ 定义 研究问题 联想一维离散型随机变量的分布律。 （X，Y）的联合概率分布（分布律） 表达式形式 。。。 ... ... 。。。... 。。。... ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 。。。 ... 。。。... ... 。。。 。。。... ... 。。。 ... 。。。 。。。... ... 。。。 。。。... ... 。。。 。。。 表格形式（常见形式） 性质 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求 的联合分布列. 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3， 1/3 1/3 ２ 1/3 ０ １ ２ １ Ｙ Ｘ 例 解 见书P69，习题1 的可能取值为 例 解 (0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（2，0） （X，Y）的 联合分布律为 0 0 5/12 2 1/12 1/3 0 -1 0 0 1/6 0 1/3 1 0 y X 则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数. 二维连续型随机变量的联合概率密度 定义 联合概率密度函数的性质 非负性 几何解释 . . 随机事件的概率=曲顶柱体的体积 设二维随机变量 的概率密度为 (1) 确定常数 k； (2) 求 的分布函数； ； . (4) 求 例 (1) 所以 解 (2) 当 时， 当 时， 所以， (3) 4 1 或解 (4) 2 2 4 例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 求概率 解 1 续解 ………. x+y=3 思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 求概率 2 2 4 1 解答