2.1变量分离方程与变量变换.ppt

§2.1 变量分离方程与变量变换 * * * 第二章 一阶微分方程的初等解法 定义1 形如 的方程,称为变量分离方程. 2.1.1 变量分离方程的求解 例 分离变量 两边积分 原方程的解为 解 注: 例1 求微分方程 的所有解. 解 积分得 分离变量 故方程的所有解为 化简整理，得 解 分离变量后得 两边积分得 整理后得通解为 例2 求微分方程 的通解. 例3 求微分方程 解 将变量分离后得 两边积分得 由对数的定义有 即 故方程的通解为 例4 解 两边积分得 因而通解为 再求初值问题的通解, 所以所求的特解为 我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解．另外， 对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若能通 过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也 可用初等解法求解．下面介绍几种典型的可通过适当的变量变 换，化为变量分离的微分方程类型． 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 （Ⅰ）齐次方程 （Ⅱ）形如 方程称为齐次方程, 求解方法 （Ⅰ）形如 例5 求解方程 解 方程变形为 这是齐次方程, 分离变量，得 即 两边积分得 代入原来变量,得原方程的解为 即当 时 例6 求下面初值问题的解 解 方程变形为 这是齐次方程, 将变量分离后得 两边积分得 整理后得 变量还原得 故初值问题的解为 分三种情况讨论 为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程. 的方程可经过变量变换化为变量分离方程. （Ⅱ）形如 这就是变量分离方程 作变量代换(坐标变换) 则方程化为 为(10)的情形,可化为变量分离方程求解. 则 解的步骤: * * *