2.1第二章参数估计.ppt

故 是 a , b 的极大似然估计值. 分别是 a , b 的极大似然估计量. 问 题 1) 待估参数的极大似然估计是否一定存在? 2) 若存在, 是否惟一? 设 X ~ U ( a – ?, a + ?), x1, x2,…, xn 是 X的一个样本, 求 a 的极大似然估计值. 解 由上例可知, 当 时, L 取最大值 1, 即 显然, a 的极大似然估计值可能不存在, 也 可能不惟一. 例9 不仅如此, 任何一个统计量 若满足 都可以作为 a 的估计量. 极大似然估计的不变性 设 是? 的极大似然估计值, u(? ) (? ? ? )是? 的任一函数, 则 是 u(? ) 的极大似然 估计值. 如 在正态总体N (?,? 2)中, ? 2的极大 似然估计值为 是? 2的函数,故? 的极大 lg? 的极大似然估计值为 似然估计值为 第二章 参数估计 参数估 计问题 假设检 验问题 点 估 计 区间估计 统计 推断 的基 本问 题 参数检验 非参数检验 什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计. 例如，X ~N (? ,? 2), 点估计 区间估计 若?, ? 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容. 参数估计的类型 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值. §2.1 点估计方法 点估计的思想方法 设总体X 的分布函数的形式已知, 但含有一个或多个未知参数：?1,?2, ?,?k 设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量： 随机变量 当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述 统计量，即可得到 k 个数： 数 值 称数 为未知参数 的估计值 如何构造统计量？ 如何评价估计量的好坏？ 对应统计量 为未知参数 的估计量 问 题 常用的点估计方法 频率替换法 利用事件A 在 n 次试验中发生的频率 作为事件A 发生的概率 p 的估计量 例1 设总体X ~ N ( ? , 2 ), 在对其作28 次 独立观察中, 事件 “X 4” 出现了21 次, 试 用频率替换法求参数 ? 的估计值. 方法 用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数 一般, 不论总体服从什么分布, 若总体期望 ? 与方差? 2 存在, 则它们的矩估计量分别为 矩法 注意：不是 ! 事实上，按矩法原理，令 设待估计的参数为 设总体的 k 阶矩存在，记为 样本 X1, X2,…, Xn 的 r 阶矩为 令 —— 含未知参数 ?1,?2, ?,?k 的方程组 解方程组 , 得 k 个统计量： 未知参数 ?1, ?,?k 的矩估计量 代入一组样本值得 k 个数: 未知参数 ?1, ?,?k 的矩估计值 例2 设总体 X ~ N ( ? ,? 2 ), X1, X2,…, Xn为 总体的样本, 求 ? ,? 2 的矩法估计量. 例3 设总体 X ~ Exp(?), X1, X2,…, Xn为总 体的样本, 求? 的矩法估计量. 问题： ? 的矩估计是否唯一？ 结论：矩估计可能不存在（如Cauchy分布的参数的矩估计不存在），即使存在也有可能不唯一（如例3）。 例4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均 寿命及寿命分布的方差. 例5 设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知, 求参数 a, b 的 矩法估计量. 极大似然估计法 思想：实际推断原理（一次试验就出 现的事件有较大的概率） 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球 现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球. 答: 第一箱. 问: 所取的球来自哪一箱的可能性大？ 例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p