2.1随机变量及其类型.ppt

4、几何分布 设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，… , 其中0p1是参数，则称随机变量X服从参数为p的几何分布。 几何分布背景： 随机试验的可能结果只有2种，A与 试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。 例2.13 进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。 解 m=1时, m1时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,… P(X=m+1)=P(第m+1次试验时成功，并且 在前m次试验中成功了m-1次) 2.1.4 随机变量的分布函数 离散型随机变量可用分布律来完整地描述，而对于非离散型随机变量则难以实现.由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b]上的概率(a≤b). 由于{ax≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R，只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我们用P{X≤x}来讨论随机变量X的概率分布情况。P{X≤x}：“随机变量X取值不超过x的概率”. 定义 设X是一随机变量，x为实变量,则实值函数 F(x)＝P {X?x}， x∈(-∞，+∞) 称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1X? x2}＝P{X? x2}－P{X?x1}＝ F(x2)－F(x1). 在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况。 一、分布函数的概念 例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率 解 设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为： X 0 1 2 3 P 1/2 1/4 1/8 1/8 X的分布函数： 所求概率为 一般地，X是离散型随机变量，其概率分布律为 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, … ) 则X的分布函数F(x)为 F(x)的图像：非降，右连续，且在x1，x2 ，…，xk，…处跳跃。 二、分布函数的性质 1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)?F(x2)； 2、归一 性：对任意实数x，0?F(x)?1，且 3、右连续性：对任意实数x， 反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。 事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。如X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定会发生的，否则不会出现事件(X1000)，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。 同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。 例2.15 设随机变量X具分布律如下表 解 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 试求出X的分布函数。 例2.16 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。 解 F(x)=P(X≤x) 当x0时,F(x)=0;当x1时,F(x)=1 当0≤x≤1时, 特别,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1 用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？ a b 例1 有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以表示取到的次品件数，求X的概率分布及分布函数. 解 随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{X=k}（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分布为 或写为： X 0 1 2 3 P 0.6624 0.3011 0.0354