2.2(离散型随机变量).ppt

2.2 离散型随机变量 2.2.1 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量． 如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量． 定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，…，xn，…，则称X取xi的概率P{X = xi} = pi，i = 1，2，…为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数． 显然分布律应具有如下性质： (1) 非负性：pi ? 0，i = 1，2，… (2) 归一性： 上述两条性质是分布律必须具有的性质，也是判别某个数列能否成为某个离散型随机变量的分布律的充要条件． 根据分布函数的定义，易知离散型随机变量X的分布函数为： （– ? x ?） 【例2.5】设离散型随机变量X的分布律为 X -1 2 3 pi 1/4 1/2 1/4 试求 ， ，并写出X的分布函数. 解： X的分布函数为 的图形呈阶梯形右连续，如图所示，在X的可能取值-1，2，3处有跳跃点，其跃度分别为1/4，1/2，1/4． 2.2.2 常用离散分布 1. 0-1分布 如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 则称X服从0-1分布或两点分布．0-1分布的分布律也可写成 对于一个随机试验，如果它的样本空间?只包含两个样本点?1、?2，我们总能在?上定义一个服从0-1分布的随机变量 来描述这个随机试验的结果． 2. 二项分布 在上一章介绍的n重伯努利试验中我们已经知道，若事件A在每次试验中发生的概率为P(A) = p，(0 p 1)，则n次试验中事件A发生k次的概率为 pk = , k = 0，1，…，n 定义2.5 如果随机变量X的分布律是 ，k = 0，1，…，n 则称X服从二项分布，记为X ～ B(n，p)． 显然，B(1，p)就是0-1分布，实际上二项分布是n重伯努利试验的概率模型． 二项分布是一种常用的离散分布， 例如 “产品抽样检验中次品数”； 　　 “在相同条件下独立重复射击的射中次数”； 　　等等都服从二项分布.　 【例2.6】设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X ? 1} = 5/9，试求P{Y ? 1}． 解：由P{X ? 1} = 5/9，知P{X = 0} = 4/9， 　　所以　(1 – p)2 = 4/9， 　　由此得　p = 1/3． 　　再由　Y～B(3，p)，可得 P{Y ? 1} = 1 – P{Y = 0} = 1 – (1 – 1/3)3 = 19/27． 3. 泊松分布 泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的应用． 定义2.6 如果随机变量X的分布律为 ? 0为参数，　 　，则称X服从泊松分布，记为X ～ P(?)． 【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率． 解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为 至少有2个砂眼的概率为 P{X ? 2} = 1 – P{X ? 1} = 0.09 在二项分布B(n，p)的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量．下面不加证明地给出泊松定理． 定理2.1（泊松定理）设? 0是一个常数，n是任意正整数，设np = ? （p与n有关），则对于任一非负整数k，有 定理的条件np = ?（常数）意味着当n很大时p必定很小．因此，当n很大p很小，有下面近似计算公式 该公式说明，在对二项分布B(n，p)计算概率时，如果n很大p很小，可以由参数为? = np的泊松分布的概率值来近似． 【例2.8】已知某种疾病的发病率为0.001，某单