2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修4).ppt

栏目导引 新知初探 思维启动 典题例证 技法归纳 知能演练 轻松闯关 第二章　平面向量 2．2.3　向量数乘运算及其几何意义 学习导航 预习目标 重点难点　 重点：向量数乘运算及其几何意义，会用各种运算律进行运算． 难点：共线定理的应用． 新知初探思维启动 1.向量的数乘运算 (1)向量的数乘运算的概念 实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做_____________，记作_____，其长度与方向规定如下： ①|λa|＝___________． 向量 向量的数乘 λa |λ||a| λ0 λ0 特别地,当λ＝0或a＝0时,0a＝___或λ0＝___. (2)向量数乘的运算律 ①λ(μa)＝____________； ②(λ＋μ)a＝___________； ③λ(a＋b)＝___________． 0 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数 λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ____________________. λμ1a±λμ2b 做一做 1.已知λ∈R，下列关系式正确吗？ ①若λ＝0,则λa＝0;②若a＝0,则λa＝0； ③|λa|＝|λ|a；④|λa|＝λ|a|. 解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所以①错,②正确;|λa|＝|λ||a|,所以③④错. 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算． 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________． b＝λa 做一做 已知向量a，b不共线，则c＝a－2b与d＝－2a＋4b的位置关系是什么？ 提示：d＝－2c，故c与d共线． 典题例证技法归纳 题型探究 例1 向量的线性运算 【名师点评】向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 变式训练 向量线性运算的应用 例2 【名师点评】　(1)充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题． (2)注意几何条件的运用：如在本例中DE∥BC?△ADE∽△ABC， △ADN∽△ABM等． (3)此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程求解． 变式训练 共线向量定理的应用 例3 名师微博 由b＝λa得出线与线的平行. 【名师点评】　(1)证明三点共线，可转化为证明两个向量共线． (2)解决向量共线问题的关键是能否找到一个实数λ使得b＝λa.若这样的λ不存在，则向量一定不共线；若这样的λ存在，则向量一定共线． 互动探究 备选例题 答案：等腰梯形 方法感悟 方法技巧 3.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 失误防范 1.对于λa，当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|＜1时,表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍. 2.数乘向量λa＝0，则可得λ＝0或a＝0;反之,也成立． 3.如果a与b不共线,且λa＝μb,则λ＝μ＝0. 栏目导引 新知初探 思维启动 典题例证 技法归纳 知能演练 轻松闯关 第二章　平面向量