2.2.3实数与向量的积.ppt

一、①λa 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0) b=λa 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 练习1 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ =-1 k=-λ k =-1 ∴k=-1 ∴ 练习2: e1、e2不共线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与b是否共线。 解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。 练习3:设两非零向量a和b不共线， 如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b 求证：A、B、D三点共线。 例2:（2003 辽宁）已知四边形ABCD是菱形， P点在对角线AC上（不包括端点A、C）， 则AP等于 ( ) A、 B、 C、 D、 A 变形1:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B 变形2:OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP 所以： O A B P 因为OP=OA+AP =OA+tAB=OA+t(OB-OA) =(1-t)OA+tOB 思考:若上式成立,则A、B、P有什么关系?反之? 结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线 则 则P、A、B三点共线. 若O是平面上任意一点,且 若O是平面上任意一点,且 其中, 则P、A、B三点共线 等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则 其中 巩固练习:如图 OAB中,C为直线 AB上一点, AC=λCB(λ≠-1), A B O C 练习1 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1 k=-λ k=-1 ∴k=-1 ∴ 练习2: e1、e2不共线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与b是否共线。 解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。 练习3:设两非零向量a和b不共线， 如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b 求证：A、B、D三点共线。 2.2.3向量的数乘运算 1.向量加法的三角形法则 作法: 在平面中任取 一点O, o 回顾旧知: 过O作OA= a 过A作AB= b 则OB= a+b. a+b b a A 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b. b B a 首尾相接首尾连 2.向量加法的平行四边形法则 作法: 在平面中任取一点O, o 以OA,OB为边作 平行四边形 C 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b. b a a A b B 过O作OA= a 过O作OB= b a+b 则对角线 OC= a+b 共起点 3.向量的减法(三角形法则） 如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. a b 作法: 在平面中任取一点o, 过O作OA= a 过O作OB= b o a A b B 则BA= a-b a-b 共起点 实际背景 探索1: a C a A B a O -a Q -a M N -a P 已知非零向量 a （如图） a 试作出： a