2.2欧拉平衡微分方程.ppt

2.2 欧拉平衡微分方程 讨论在平衡状态下,作用于液体上的表面力和质量力之间应满足的关系,建立表示液体平衡的微分方程。 2.2.1 欧拉平衡微分方程 一、欧拉平衡微分方程的推导 一、欧拉平衡微分方程的推导 如图2.5，在平衡液体中，取一微小六面体，为研究的方便，使其各边分别平行于坐标轴，边长分别为：dx, dy, dz,其形心点为M(x, y, z)，点M的压强为p(x, y, z) 一、欧拉平衡微分方程的推导 由于六面体各面的形心到点M的距离很小,压强在M点附近的变化可用泰勒级数表示,且可忽略二阶以上的微量,于是： 一、欧拉平衡微分方程的推导 abdc面上的中心点M1（x-dx/2，y，z），其压强为： 一、欧拉平衡微分方程的推导 作用于abdc面上的静水总压力为： 一、欧拉平衡微分方程的推导 单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X，Y，Z，六面体的质量为： 一、欧拉平衡微分方程的推导 根据平衡条件∑Fx=0，则有： 一、欧拉平衡微分方程的推导 二、欧拉平衡微分方程的综合形式 三、质量力的势函数、有势力、等压面 三、质量力的势函数、有势力、等压面 当力势函数存在时，有： 三、质量力的势函数、有势力、等压面 三、质量力的势函数、有势力、等压面 等压面的微分方程： 三、质量力的势函数、有势力、等压面 因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平面。 常见的等压面： 1.液体的自由表面 2.不相混合的两种液体的交界面 2.2.2 重力下流体的压强分布规律 一、重力下流体的压强分布规律推导 一、重力下流体的压强分布规律推导 静止的液体，所受的质量力只有重力， 一、重力下流体的压强分布规律推导 对均质流体，ρ=const，则： 一、重力下流体的压强分布规律推导 在自由表面上， 一、重力下流体的压强分布规律推导 （2）液重压强γh—即从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。 一、重力下流体的压强分布规律推导 例2.1 一封闭水箱，如图2.8液面上压强p0 =120kN/m2,求h=0.4m处A点的压强。 二、静水压强基本方程的意义 水头和单位势能 下面从能量和几何的角度分析各项的意义 ：液柱高度（压强水头）—研究点在自由液面以下的高度 式中各符号的规定 表明：静止液体内各点单位重量液体所具有的势能相等。 各符号的规定举例 图2.9 各符号的规定练习 做练习, P24, 2.2 * * 2.2.1欧拉平衡微分方程 2.2.2重力下流体的压强分布规律 二、欧拉平衡微分方程的综合形式 三、质量力的势函数、有势力、等压面 图2.5 图2.5 分析作用于六面体表面的力： （为简化，只讨论X方向，Y，Z方向同理可得） 1.表面力：只有静水压力 abdc面上的中心点M2（x+dx/2，y，z），其压强为： 图2.5 M1 M2 作用于abdc面上的静水总压力为： 图2.5 2.质量力F： 除以dxdydz，得： 同理可得： (2.2) (2.3) 欧拉平衡微分方程：表明，在静止液体中,静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。 (2.3) 将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz，后相加得： （2.4）—综合形式 （压强差公式） （2.4）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是U (x, y, z) ，称为质量力的势函数, 简称力势函数。 有力势函数存在的力场，叫势场。 （2.4） 所以： （2.5） 只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态 （2.5） （2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的. 等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。 在等压面上，压强p=常数(const)，于是： U=常数(const)，所以等压面也是等势面 即： （2.6）—等压面的微分方程 dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（2.6）表明： 单位质量力所做的微功等于零. 由于质量力和位移都不为零，所以在静止液体中质量力与等压面正交。 图2.6 二、静水压强基本方程的意义 则X=0，Y=0，Z=-g， 代入压强差公式： 取图2.7所示坐标系， 即： (2.8) 上式表明，在重力作用下，不可压缩的静止液体中各点的 相等。 即对液体中的任两点： （2.9）—静力学的基本方程 (2.7) 即： 若取h的方向与z相反，则： （2.11）—静水压强的基本方程 （2.10） h—自由液面以下的淹没深度