2.3.1《向量数量积的物理背景与定义人教B版必修4.ppt

二.两个向量的夹角 三.向量在轴上的正射影 四.向量的数量积（内积） * 2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 复习回顾 x1 + x2 y1 + y2 x1 - x2 y1 - y2 λ x1 λ y1 1、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 则向量a+b=（ ， ） 向量a-b=（ ， ） 向量λa=（ ， ） 2、若已知点A(x1,y1) ， B(x2,y2) 则向量AB=（ ， ） x2 – x1 y2- y1 3、向量a、b（b≠0）共线的充要 条件是什么？ a =λb 若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的充要条件是什么？ x1 y2 - x2 y1=0 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。 位移S O A θ F F θ S W=│F││S│COSθ 一.力做功的计算 b a OA OB 已知两个非零向量a、b， =a， = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作a ，b. 并规定0≤ a ，b ≤π B O A （1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点； b a B O A O A a B b B b a O A A a O B b （2）〈a ，b〉=〈b ，a〉； （3）范围0≤〈a ，b〉≤π； （4）〈a ，b〉=0时, a、b同向； 〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b. （5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直. 几点说明 如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 A B C 通过平移 变成共起点！ 练习1 （1）概念： 已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影. OA 1 1 O A （2）正射影的数量： 向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量. 记作： al 向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ， 则有 1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量. 2. 当?为锐角时，数量为正值； 3. 当?为钝角时，数量为负值； 4. 当?为直角时，数量为0； 5. 当? = 0?时，数量为 |a|； 6. 当? = 180?时，数量为 ?|a|. 几点说明 a l x l O A 2 O 1 A 1 a l a a 例1.已知轴l （1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°, 求OA在上的正射影的数量OA1 （2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°, 求OB在l上的正射影的数量OB1 (3)已知向量a, b ,向量|a|=4,a, b=600,则向量a在向量b上的正射影的数量 解：4cos600=2 解：OA1=5COS600=5×( ?)=5/2 -5/2 定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积） 记作：a·b . 即 a·b = 1．数量积a?b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos?的乘积. 几点说明 2．两个向量的数量积是一个实数，而数乘向量是一个向量。 O A B a b O A B a b θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 B O A a b 量的数量积为0 3.规定零向量与任意向 两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量. 1. e?a = a?e =|a|cos?; 2. a?b ? a?b = 0 3. a?a = |a|2或 4. cos? = ； 5.|a?b| ≤ |a|.|b| . 内积为零是判定两向量垂直的条件 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状 例2.已知|a|=5，|b|=4，a,b=120°，求a·b. 解： a?b =|a|·|b|cosa,b =5×4×cos120°