2.3.1离散型随机变量的均值.ppt

2.3.1 离散型随机变量的均值 数学期望 引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少？ 加权平均数 你的期中数学考试成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？ 加权平均数 权：称棰，权衡轻重的数值； 加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。 按3：2：1的比例混合 混合糖果中每一粒糖果的质量都相等 如何给混合糖果定价才合理？ 你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗？ 将按3：2：1混合的糖果看作总体； 任取的1kg糖果看作一个样本； 样本中的每个糖果看成一个个体； 设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果大约各占： 在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪个价位的概率。 现在混合糖果中任取一个，它的实际价格用Ｘ表示，Ｘ的分布列为： 　　　　　１８　　２４　　３６ 数学期望 理解概念 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值 随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化, 因而样本的平均值是随机变量； 例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。 对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近总体的平均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的平均值。 期望的线性性质 若X是一个随机变量，则 Y=aX+b 仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。 EY=E(aX+b)=aEX+b 例1 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？ 探究 如果我们只关心他是否打中10环，则在他5次射击中，打中10环的次数设为X，则求X的均值。 如果X服从二项分布，则EX=？ 例2 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。 思考 数学期望小结 EX表示X所表示的随机变量的均值； E(aX+b)=aEX+b 两点分布：EX= p 二项分布：EX= n p 求数学期望时： 已知是两点分布或二项分布，直接代用公式； 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。 作业 课本64页练习2、3、4、5； 69页B组第1题。 * * 算术平均数 18元/kg 24元/kg 36元/kg 定价为 可以吗 Ｘ Ｐ 合理价格=18× +24× +36× =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36) 代表X的平均取值 若离散型随机变量X的分布列为： pn … pi … p2 p1 P xn … xi … x2 x1 X 则称： EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 随机变量X的均值与X可能取值的算术平均数相同吗 可能取值的算术平均数为 P 36 24 18 X X的分布列 P 6 5 4 3 2 1 X X可能取值的算术平均数为 随机变量x的均值与x可能取值的算术平均数何时相等 随机变量的均值与样本的平均值有何区别和联系 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7 0.7 0.3 p 1 0 X 如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p 1-p p p 0 1 ξ 例2、 0.22 0.29 0.28 0.09 0.06