2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标表示.ppt

平面向量的基本定理 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 复习： 新课导入 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为　，下滑力为　，木块对斜面的压力为　，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？ 　　重力　产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用　，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力　.也就是说，重力　的效果等价于　和　的合力效果，即　 　　在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 　　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量　　是两个互相垂直的单位向量，向量　与　的夹角是30°，且　 以向量　　为基底，向量　如何表示？ B O A P 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 为基底，则 （1，0） （0，1） （0，0） ① 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示. 　　这样，平面内的任一向量　 都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作 概念理解 O x y A 1．以原点O为起点作 ，点A的位置由谁确定? 由　唯一确定. 2．点A的坐标与向量　的坐标的关系？ 两者相同 向量　 坐标（x ，y） 一 一 对 应 O x y A 例1:如图，分别用基底 ， 表示向量 、 、 、，并求出它们的坐标. A A1 A2 解：如图可知 同理 思考：已知 ， 你能得出 的坐标吗？ 2.3.3 平面向量的坐标运算 向量运算的坐标化 设 试用坐标表示下列向量: 即 向量的和、差运算可以用坐标表示为: 结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 向量的数乘运算 ？ 结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标 平面向量的坐标运算法则 重点 探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （1，3）， （4，2），如何求 的坐标呢？ AB 1 2 3 4 －1 返回 －5 －2 －3 －4 x y 5 0 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 o (3,－1） 的坐标可能为 （x2－x1 , y2－y1) AB B（4，2） A（1，3） · · （x1，y1） （x2，y2） （x1，y1） （x2，y2） AB OA OB (x2 x1 ,y2 y1) (x2 ,y2) (x1,y1) 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 。 A B C D x y O 解：设点D的坐标为（x,y） 解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2） 例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)， 求顶点D的坐标。 例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)， 求顶点D的坐标。 A B C D x y O 另解：由平行四边形法则可得 而 所以顶点D的坐标为（2，2） 在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量 i , j作为基本单位向量，任作一向量a，由前分析可知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 一.正交分解定义： 归纳总结 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1） 3、 a=x i+y j =( x , y) 1 、把 a=x i+y j 称为向量的正交分解. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 1.平面向量坐标的加.减运算法则 =( x1 , y1) + (x2 ,? y2)= (x1+x2 , y1+y2) =( x1 , y1) - (x2 ,? y2)= (x1- x2 , y1-y2) 2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则 3.平面向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 则 =(x2 - x1 , y