2.3r.v.的分布函数.ppt

概率论 概率论 第三节 r.v.的分布函数(distribution function) r.v.的d.f. 的定义 d.f.的性质 小结 一、分布函数(d.f.)的定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的 概率. 设 X 是一个 r.v.，称 为 X 的分布函数 , 记作 F (x) . (1) 在d.f.的定义中, X是r.v., x是普通变量. (2) F(x) 是r.v. X取值不大于 x 的概率. (3) 对任意实数 x1 x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为： P{ x1X x2} 因此，只要知道了r.v.X的d.f.， 它的统计特性就可以得到全面的描述. =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 请注意 : d.f.是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量. 当 x0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 例1 设 r.v. X 的分布律为 当 0 x 1 时， F(x) = P{X x} = P(X=0) = F(x) = P(X x) 解 X 求 X 的d.f. F (x) . 当 1 x 2 时， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = 当 x 2 时， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下. 的分布函数图 设 d. r .v X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… F(x) = P(X x) = 即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和. 一般地 则其分布函数 二、分布函数的性质 (1) 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v. X 的d.f. ,也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件. (3) F(x) 右连续，即 (2) 试说明F(x)能否是某个r.v 的d.f. 例2 设有函数 F(x) 解 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是d.f. 不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的d.f. 或者 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x 0 时，F(x) = P(X x) = 0 0 a 当 x a 时，F(x) =1 例3 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数（P.57，Ex18) . 当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ) 由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k = 1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x) =x / a 故 这就是在区间 [0，a]上服从均匀分布的c.r.v.的d.f. 三、小结 在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数 , 以及分布函数的性质. 练习题 F(x) = P(X x) 故 一. 设在15只同类型零件中有3只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布函数，（2）画出分布函数的图形。 二. 一袋中有6只乒乓球，编号为1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量X的分布律及分布函数。 一. 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布函数，（2）画出分布函数的图形。 二. 一袋中有6只乒乓球，编号为1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量X的分布律及分布函数。