2.3。连续型随机变量及其分布.ppt

§2.3 连续型随机变量的概念密度 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、连续型随机变量 二、几种常见的连续型随机变量 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、连续型随机变量 定义1 对于随机变量X如果存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有 F(x)= (1) 则称X为连续型随机变量，称函数f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度。 注:1) 由(1)式,在f(x)的连续点x上有 F’(x)=f(x) (2) 2) P{x1X≤x2 } =F(x2)-F(x1) 3) 当f(x)在x=x0连续时,利用定积分的性质知: 概率密度具有以下两个性质： 1) f(x)≥0 2) (6)式的几何意义: P(a?x?b) 0 a b x f(x) 4) 对任意实数a,P{X=a}=0 (5) x 0 f(x) (7)式的几何意义: 概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系为 x 0 f(x) x 例1 设随机变量X的概率密度函数 求C的值,P{X1}以及X的分布函数. 解:由密度函数的性质2得 当x0时 =1 当x0时 =1 ∴X的分布函数为 　∴X的分布函数为 x y O 2 1 例2 设随机变量X的概率函数为 求 (1)X的分布函数F(x); (2)计算P{x1},P{0Xln2} 解(1) (2) 例3 设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X(以万公里计)是一个随机变量，已知其概率密度为 今从中随机地抽取5只轮胎,试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率. 解:设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p,则 分析:设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p,Y为行驶的路程数不足30万公里的轮胎数.则Y~B(5, p).而目前未知,故由题意先求出p 例3 设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X(以万公里计)是一个随机变量，已知其概率密度为 今从中随机地抽取5只轮胎,试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率. 解:则 Y~B(5, 0.9502) =0.99997 二、几种常见的连续型随机变量 1 、均匀分布 定义2 如果随机变量X的概率密度为 则称X服从区间[a,b]上的均匀分布。 例4 设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧~1100欧,求R的概率密度及R落在950欧~1050欧的概率。 解: R的密度: P{950R≤1050}= 注: 均匀分布的特性:若X服从[a,b]区间上的均匀分布,则X落在[a,b]中任意等长度的子区间内的概率相同.即对于长度为l的子区间 概率只与子区间的长度有关，与子区间在[a,b]中的位置无关. 容易求出,均匀分布的分布函数是 其图形为 0 a b x f(x) 0 a b x F(x) 1 2、正态分布 定义3 设随机变量X的概率密度为 －∞＜x＜∞ (10) 其中μ、 ?(?0)为常数，则称X服从参数为μ、σ的正态分布或 高斯分布，记为X～N(μ，σ2)。 μ 正态分布密度函数的性质和特点： 1) f(x)的图形关于直线x=μ对称，即f(μ-x)=f(μ+x)，从而有 P{μ-xX≤μ}=P{μX≤μ+x} 2) f(x)的各阶导数存在， f(x)在x=μ处有最大值 在点 处有拐点，曲线以ox轴为渐近线。 3) 参数μ决定f(x))的图形的中心位置，称为位置参数，参数σ2决定图形中峰的陡峭形状，称为尺度参数：当μ固定时，σ越小图形中峰越陡峭，因而X落在μ附近的概率越大。 4) 由定义知X的分布函数为: ***** ***** 定义4 当正态分布的参数μ＝0，σ＝1时称正态分布为标准正态分布，记为X～N(0，1),其概率密度为: －∞＜x＜∞ (12) 其分布函数记为 : 性质： 定理：若X～N(μ，σ2)，则 由此,若X～N(μ，σ2), 则 例5 解： 例6 设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克,每包的重量X(以克记)是随机变量,服从正态分布，即X～N(500,25),求:(1)??随机抽查一包，其重量大于510克的概率; ( (2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率； (3) 求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05. 解 (1)所求概率为 例6 设某商店