2.3连续型随机变量及其分布.ppt

性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴 上方； 性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的 面积为1； 性质（3）的几何意义是X取值于任一区间的概率等 于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲 边梯形的面积； 性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密 度函数 以下，x轴上方，从 到x的一块面积； 题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数 题型2.分布函数与概率密度的求法 I.求分布函数 (1).已知密度函数,用积分求分布函数; (2).未知密度函数,用定义求分布函数. II.求概率密度 一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则其概率密度为 例2 设有连续型随机变量X的分布函数为 (1).确定常数A,B的值; (2).求密度函数f(x); (3).计算P{X0.1}. 解：(1).由分布函数性质得: 则 A=1, B=-1. (2).因为 所以求导得: (3).P{X0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1) =1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ; 2、指数分布 可得： （1） （2） （3）对于任意的 ， 事实上 可做如下解释：若令X（小时）表示某一电子元 件的寿命.上式意味着：一个已经用了s小时为损坏的电子元件，能够再用t小时以上的概率，与一个新的电子元件能够使用t小时以上的概率相同。这看起来有点不可思议，实际上，它表明该电子元件的损坏，纯粹是由随机因素造成的，元件的衰老作用并不显著.形象地说,指数分布是“永远年轻”的,把过去的经历(已经活了s年)全忘记了.这个性质称为指数分布的“无记忆性”, 应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布. 例4 标准正态分布计算中的几个常用的公式 3、正态分布 定义4 设连续型随机变量X的概率密度为 其中μ,σ(σ0)均为常数,则称随机变量X服从参数 为μ,σ的正态分布,记为 分布函数为 此积分是积不出来的! 正态概率密度函数的几何特征 正态分布的分布函数 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 定义4 标准正态分布的图形 概率论与数理统计 数学与计算科学学院 徐 鑫 * §3 连续型随机变量及其分布 一、概率密度的概念 定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存 在非负函数f(x),使对任意实数x均有 则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率 密度(函数). 概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机 变量的统计规律性. 由定义知,概率密度 f(x)具有以下性质: [求概率] [由概率密度求分布函数] [由分布函数求概率密度] [确定待定参数] 二、概率密度的性质 ? ? ? ? ? 概率密度的几何意义 注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 证明 由此可得 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能 事件,则有 若 X 为离散型随机变量, 注意 连 续 型 离 散 型 解 例1 或P{X0.1}= 设随机变量X的概率密度为 求X的分布函数。 【解】概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数, 其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数 为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x). 练习 例9-续1 上例中用到积分公式： 大家应复习有关积分的方法与公式。 请看P.40-41:例9；例10. 1、均匀分布 三、几种重要的连续型随机变量 定义2 设连续型随机变量X具有概率密度 则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 均匀分布的分布函数 均匀分布的概率密