2.4 随机变量函数的 分布.ppt

概率论与数理统计 数学与计算科学学院 徐 鑫 * §4、随机变量函数的分布 已知随机变量X的分布,现求其连续函数Y=g(X)的 分布.此时,Y也是随机变量. 一、离散型随机变量函数分布列的求法 (同一表格法) 设离散型r.v.X的分布律为 则求函数Y=g(X)的分布律的步骤为： 1、求Y的所有可能取值 2、计算Y取各可能值的概率： ? 如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该 值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和. 例如,当 则 ? 如果Y各可能取值互异,即 则 离散型随机变量函数概率分布的计算 【例1】设r.v.X的分布律为: 求X+1,X2-1的分布律. 【解】采用“同一表格法”. 0.4 0.1 0.3 0.2 Pk 2 1 0 -1 X 3 0 -1 0 X2-1 1 0 -1 -2 X-1 2 1 0 -1 X 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 互异 有相等 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 1 0 -1 -2 X-1 故X+1分布律为: X2-1的分布律为: 0.4 0.3 0.3 pk 3 0 -1 X2-1 其中 □ 1 、分布函数法(一般情形) 设连续型随机变量X的概率密度为 ,为求 Y=g(X)的概率密度 ,先求Y的分布函数 再对y求导数即得 ,其中积分区间是以y的函数 为端点的区间.求导时一般用到变限函数的导数公式. 二、连续型随机变量函数概率密度的求法 一般处理的关键是讨论函数单调性 设r.v.X的概率密度为 求Y=X2的概率密度。 【解】设Y的分布函数为 ，则 对y求导得： 【例2】 □ 特别的,如r.v.X?N(0,1),则 例14-续1 变限函数导数公式 于是，Y=X2的分布律为 此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布. 变限函数求导公式 【例3】设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度. 【解】因为r.v.X∽U(0,1),所以X的概率密度为： 从而,整个y轴相应地也被分为三部分: 如图, 的非零段将整个x轴分为三部分: 因此,应就y分为上述三个区间来求Y的分布函数. (-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞). (1) 当y1时,再分为两种情形: (a) 当y≤0时, (b) 当0 y1时, (2) 当1≤ye时, (3) 当y≥e时, 综上所述得Y的分布函数为: 求导得Y的概率密度为: □ 2、 公式法(y=g(x)为单调可导函数) 定理 设连续型随机变量X的概率密度为 又函数 处处可导且有恒有 则 是连续型随机变量，其概率密度为 其中 证明此略 为 的反函数。 若 只在有限区间 上不为零，则只需 假设在 上恒有 ，此时 因此，当随机变量函数是单调函数时，可直接 利用上述公式求概率密度函数；当随机变量函数不 是单调函数时，应利用分布函数来求概率密度。