2.4 连续型随机变量的概率密度.ppt

人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点. 除了我们在前面遇到过的年降雨量外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布. 服从正态分布 的随机变量 X的概率密度是 X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？ * * 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. ,使得对任意 , 有 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数f(x) , 对任意实数x，有 则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 数，简称为概率密度或密度. 2.4.1 连续型r.v及其密度函数的定义 概率密度函数的性质 1 o 2 o 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件. f (x) x o 面积为1 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： a为任一指定值 这是因为 需要指出的是: 由此得， 1) 对连续型 r.v X,有 2) 由P(X=a)=0 可推知 而 {X=a} 并非不可能事件 并非必然事件 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件. 可见， 由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B=S 例2.8 设随机变量X的概率密度为 解 (1)由 于是X的密度函数为 (2) =1 所以得X的分布函数为 2.4.2常见的连续型随机变量的分布 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述. f (x) x o （1）若 r.vX的概率密度为： 则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： X ～ U(a, b) 它的实际背景是： r.v X 取值在区间 (a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀分布. 1.均匀分布 均匀分布的分布函数为 事实上， 当 x a 时， o b a x y 综合即得上式。 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等. 例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率. 解： 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 则称 X 服从参数为 的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. （2）若 r.v X具有概率密度 常简记为 X~E( ) . 2.指数分布 当X服从指数分布时，其分布函数为 例2.10 设随机变量X服从参数为q的指数分布，且P{1≤X≤2}=1/4，求q的值及分布函数。 解 因P{1≤X≤2} 故X的分布函数为 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 3.正态分布 一、正态分布的定义 若r.v X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 m 和 s2 的正态分布. 正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲