2.4(随机变量函数的分布).ppt

在实际中，有些随机变量往往不能直接观测到，而它却是某个能直接观测到的随机变量的函数，在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y = g(X)，（g(.)是已知的连续函数）的概率分布． 2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布 设X是离散型随机变量，X的分布律为 X x1 x2 … xn … pi p1 p2 … pn … 则Y = g(X)也是一个离散型随机变量， 此时Y的分布律为 Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) … pi p1 p2 … pn … 当中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可． 【例】已知随机变量的分布律为 X – 2 – 1 0 1 2 pi 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求Y = X 2 + X，Z = X 2 + 1的分布律． 解：由X的分布律可得如下表格 pi 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X – 2 – 1 0 1 2 X2 + X 2 0 0 2 6 X2 + 1 5 2 1 2 5 由此表格，得Y，Z的分布律分别为 解：由X的分布律可得如下表格 pi 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X – 2 – 1 0 1 2 X2 + X 2 0 0 2 6 X2 + 1 5 2 1 2 5 由此表格，得Y，Z的分布律分别为 2.4.2 连续型随机变量函数的分布 求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法，即分布函数定义法和公式法． 1. 分布函数定义法 设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)， 求X的函数Y = g(X)的概率密度fY(y)方法如下: (1) 先求其分布函数： FY(y) = P{Y ? y} = P{g(X) ? y} (2) 在上式两端对y求导，即可求出概率密度fY(y)． 【例】设X～N(0，1)，求Y = | X |的概率密度． 解： 1) 当y ? 0时， 是不可能事件，所以 2) 当y 0时， 则 由1)与2)得到 【例】设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度． 解：分别记X，Y的分布函数为 ， ． 先求Y的分布函数，由于 故当时 ， ； 当y0 时有 将 关于y求导数，得Y的概率密度为 用分布函数定义法,可以证明下述正态分布的重要性质: 定理2.3 设 ，则 (1) Y = aX + b ～ N (a? + b，(a?)2)， 其中a（? 0），b为常数； (2) ． 证：(1) 分别记Y的分布函数及概率密度为FY(y)和fY(y)，则由分布函数的定义知 若a 0，则有 若a 0，则有 将上面两式分别对y求导得 故Y = aX + b ～ N(a? + b，(a?)2)． 通常称 为对X进行的标准化变换． 由定理2.3，若 ，则X的分布函数可写成： 这样，利用Φ(x)的函数表就能求出一般正态分布变量落在任意区间中的概率了． 即有： 【例】设X～N(108，9), 试求P{102X 117}． 解： 也可以这样计算： 若 ,则由的函数表可以得到 2. 公式法 上面介绍的分布函数法是求随机变量函数Y = g(X)的分布的主要方法，它适用范围广泛，对g(x)为单调函数与非单调函数均适用，能解决很多问题．当g(x)为单调函数时，还可用公式法求Y =