2.4.1-1平面向量的数量积.ppt

* 1.平面向量的坐标表示 2.平面向量的坐标运算 3.两个结论: 复习回顾 x1=x2,且y1=y2 x1y2－x2y1=0 a // b b = λa 4.向量共线定理: 对于两个非零向量 和 , 称∠AOB为向量 与 的夹角. 6. 向量的夹角的取值范围: A O B 作 ， ，如图. 7. 向量的垂直： 如果向量 与 的夹角是900, 记作 ⊥ . 则称向量 与 垂直, 5.向量的夹角: [0°，180°] θ 说出下列两个向量 a 和 b 的夹角的大小是多少？ b a ( 1 ) 40O ╮ ( 2) a b a b ( 3) ┐ a b ( 5 ) a b 60O (6) 60O b a (4) 注意：a 和 b为印刷体。 θ=00 θ=1400 θ=900 θ=600 θ=1800 θ=1200 位移S O A 问题情境： θ F F θ S 如果一个物体在力F 作用下产生位移S, θ表示力F 的方向与位移S 的方向的夹角。 那么F所做的功为: W=│F││S│cosθ 2.4.1-1 平面向量的数量积 如果一个物体在力F 作用下产生位移S, θ表示力F 的方向与位移S 的方向的夹角。 那么F所做的功为: 记作 a · b， 即 a · b= | a | | b |cosθ. 1.定义：已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为θ, 我们把数量| a || b |cosθ (或内积)　 叫做向量 a 与 b 的数量积 规定:0· a=0. 不能写a×b, 或 a b, W=│F││S│cosθ 一、平面向量的数量积 思考：在平面向量的数量积定义中， 它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 向量的加减的结果还是向量， 但向量的数量积结果是一个数量(实数). 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 即 a · b= | a | | b |cosθ. 1.定义：已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为θ, 我们把数量| a || b |cosθ (或内积)　 叫做向量 a 与 b 的数量积 规定:0· a=0. 不能写a×b, 或 a b, 记作 a · b， 一、平面向量的数量积 例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角1200， 求a · b. 解： a · b = | a | | b |cosθ a · b= | a | | b |cosθ. 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例3.正六边形 2、向量的“投影” ： 定义： O A O A B A O 投影是向量吗 ? 投影是一个数量(实数), B B (1)当θ为锐角时， 它是正值; (2)当θ为钝角时, 它是负值. B1 则由锐角三角函数得:OB1=│b│cosθ │b│cosθ (3)当θ为直角时, 值为零. (4)θ=00时 │b│cosθ=　 │b│ (5)θ=1800时 │b│cosθ＝ －| b | 叫做向量b在向量a上的投影. B1 2、向量的“投影” ： 定义： O A O A B A O 投影是向量吗 ? 投影是一个数值(实数), B B B1 则由锐角三角函数得:OB1=│b│cosθ │b│cosθ 叫做向量b在向量a上的投影. B1 3、向量数量积的几何意义 b 在 a 的方向上的投影│b│cosθ a 的长度│a│ a · b= | a | | b |cosθ. 数量积 a ? b 等于 与 的积。 二、向量数量积的性质 设a, b都是非零向量, e是与b的方向相同的单位向量, θ θ是a与e的夹角，则 a ? b =│a││b│cosθ (1) e ? a = |e ||a |cosθ =|a |cosθ |a || e |cosθ =|a |cosθ e ? a = a ? e =│a│cosθ a ? e = (2)a⊥b a ? b =0 │a││b│ －│a││b│ (3)当a与b同向时，a ? b = 当a与b异向时， a ? b = 重要! │ │ cosθ＝ 设a, b都是非零向量, ≤│a││b│ = │a││b│cosθ e是与b的方向相同的单位向量, =| a || a |cos0 θ是a与e的夹角，则 a ? b =│a││b│cosθ (7) 二、向量数量积的性质 │ │ a ? b = │a││b│cosθ | | (4) a ? a = a 2 =| a |2 (6) a 2 =| a |2