2.4.1.平面向量的数量积.ppt

* * * * 平面向量的数量积的物理背景及其含义 平面向量的数量积 2.4 2.4.1 （第一课时） 知识目标： 1.掌握平面向量的数量积及其物理意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质； 3.会用平面向量的数量积解决简单问题； 能力目标： 1.提高逻辑思维能力; 2.应用数形结合思想分析问题解决问题的能力 情感目标; 3.激发学生的科学精神和创新意识。由特殊到 一般再由一般到特殊的辨证唯物主义思想. 教学重点：平面向量的数量积定义，性质 教学难点：由物理问题抽象出向量数量积的概念 教学方法：自学式，讨论式，探究式 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa， 它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ0时,λa 的方向与a方向相同； 当λ0时,λa 的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 知识回顾： 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。 O B A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； O A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O A a b 2， θ s F 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 如果把“功”看成是两个向量的一种运算，那么这种运算又叫做什么运算？ 平面向量的数量积 新课引入： 二　向量的夹角 一　平面向量数量积的定义 三　平面向量数量积的几何定义 四　平面向量数量积重要性质 阅读提示： 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． 自主学习：p103, 理解平面向量数量积的定义 练习：　向量的夹角(θ) 1,请判断，在下列各图中∠AOB是否为给出向量的夹角 (1) o A B (4) o A B (3) o A B (2) o A B 学生展示： 平面向量的数量积及运算律 例题讲解 例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ， 求a ·b. 解： a ·b =|a | |b |cosθ 巩固训练： 例2 已知a=(1,1),b=(2,0), |a|, |b|,求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °= 2 练习：p107, 1. 例3，已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=60°， 求BC . CA A C B 例3，已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=60°， 求BC . CA A C B ∵∠C=60° ∴向量BC与CA所成的角为120° D =5×8× (-1/2) = - 20 解： ∴ BC . CA= BC CA COS120° 进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量 方向确定其夹角。 2, 注意： 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点． 3.当θ＝０时，a与b同向 4.当θ＝π时，a与b反向 5.当θ＝π／2时，a与b垂直，记作a b 2.且θ∈[０, π] a b cos θ a . b= 6.当θ∈［０,π/2)时, a . b＞０， 当θ∈(π/２,π］时, a . b＜０， 当θ=π/2, a . b=0 ，过点B作 ,垂直于直线OA， 垂足为 ，则 | b | cosθ O A B a b O A B a b | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 B O A a b 自主探究二：向量b在a方向上的投影 O A B θ |b|cosθ a b B1 等于 的长度 与 的乘积。 三自主探究： 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 ：