2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义.ppt

问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？ 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？ 复习回顾 向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角． O A B a b O A B b a 若 ，a 与b 同向 O A B b a 若 ，a 与b 反向 O A B a b 若 ，a 与b 垂直， 记作 　 复习回顾 如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 　　 （１）力F所做的功W= 。 （２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。 F S 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.平面向量的数量积简单应用； 4.掌握向量垂直的条件. 重点：平面向量的数量积定义 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 平面向量的数量积的定义 说明： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1） 问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？ 实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量 问题4：影响数量积大小的因素有哪些？ 这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 夹角 的范围 正 负 0 数量积符号由cos?的符号所决定 平面向量的数量积的运算性质 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ a⊥b a·b＝0 问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ . 问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ ︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ 问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ （３）a · b ≤| a | · | b |. （１）a⊥b 　　a · b=0 . (判断两向量垂直的依据) 特别地， （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | · | b |； 　　 当a与b反向时，a·b＝ －| a | · | b |. （４） 平面向量的数量积的运算性质 设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量： 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 练习: