2.4.1平面向量数量积及运算律.ppt

我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 （1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？ 数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？ （2）“ ”能不能写成“ ”或者“ ” 的形式？ 思考 已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 一、向量数量积的定义： 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当θ =90°时a·b为零。 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 探究（二）：平面向量数量积的运算性质 思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ a⊥b a·b＝0 思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ . 思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ ︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 P书106.1.2 思考4：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？ a θ b O A B A1 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？ 不一定；︱b︱cosθ. |a|cosθ P书106.3 思考5：根据投影的概念，数量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积， 二、平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律： 其中， 是任意三个向量， 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a2＋2a·b＋b2. ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b 证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 例 3：求证： 证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2. 理论迁移 例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b). －72 例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与 a－kb互相垂直？ 变式： K=6 练习三： 1、已知 ， 为单位向量，当它们的夹角为 时， 求 在 方向上的投影及 ； 2、已知 ， ， 与 的交角为 ，则 ； 3、若 ， ， 共线，则 . （1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 4 0 3或－3 4、已知 ， ，且 ，则 与 的夹角为