2.4.1平面向量的数量积.ppt

向量数量积的运算律 1.向量的夹角 2.向量的投影 3.向量的数量积的定义，几何意义. （共起点） 4.向量数量积的性质 5.向量数量积的运算律 作业: 1、复习课本P103-105 2、课本P108 习题2.4 A组第2题,第3题,第6题 3、选做B组第1题 例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为i和j，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j， 求a·b． 例7 设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ， ，试求的值 ． * 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 复习思考: 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积 运算结果 向量 向量 向量 ？？ 平面向量的数量积 物理意义下的“功” 我们学过功的概念,一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角. θ F F θ S 位移S O A 功是一个_____，是一个_____，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？ 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念. 标量 数量 两个非零向量 和 ，作 ， 则 叫做向量 和 的夹角． 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. 向量的夹角的概念 O A B 与 同向 O A B 与 反向 O A B 与 垂直 特别地 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把 数量 叫做 与 的数量积（或内积）. 记作 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 数量积的定义 O a b 1、这是一种新的运算法则，“ ”不能省略不写， 不能写成 ， 表示向量的另一种运算; 2、　 是实数而不表示向量； 3、在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取 值范围是 . 说明： 例1．已知|a |=5, |b |=4，a与b 的夹 角 ，求a ·b. 解： a ·b =|a | |b |cosθ 知3求四 求 2.在△ABC中， 法一： 法二： 注意:在两向量的夹角定义中, 两向量必须是同起点. 思考1 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 当 时，它为正值； 当 时，它为负值． 当 时，它为0； θ为锐角时，| b | cosθ＞0 θ为钝角时，| b | cosθ＜0 θ为直角时，| b | cosθ=0 θ B B1 O A 叫做向量 在 方向上（向量 在 方向上）的投影. 投影的概念 向量 与 的数量积等于 的长度 与 在 方向上投影 的积. 还有其它说法吗？ 向量 与 的数量积等于 的长度 与 在 方向上投影 的积. 数量积的几何意义 θ B1 O θ B1 O 练习: 已知 | p | =8, | q |=6, 向量p 和 q 的夹角是 60°, 求 p 在 q方向上的投影。 数量积的 性 质 设a ,b都是非零向量, 则 （1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |， 当a 与b 反向时, a · b = ?| a | · | b |. 特别地 (用于计算向量的模) （4）| a · b| ≤| a | · | b | （3） (用于计算向量的夹角) 由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论? 知3求四 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） √ （1）若 ,则对任意向量 ，有 . （2）若 ,则对任意非零向量 ，有 . （3）若 ,且 ,