2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(比赛)1.ppt

2. 探究 * * * * 2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角 回顾复习： 1.向量a与b的数量积的含义是什么？ a·b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角 2.向量的数量积具有哪些运算性质？ （1）a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)； （2）a2＝︱a︱2； （3）a·b＝b·a； （4）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； （5）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； 3.设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2) a+b= a-b= 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a·b = (x1i+y1j) ·(x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2 = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 i· i =_____, j · j=______, i· j=______, j · i =_______. 1 1 0 0 1. 8 2. 10 3. 0 小试牛刀 1.a=(1,2)b=(2,3) 2.a=(1,3)求a2 3.a=(1,-2)b=(2, 1) 向量平行和垂直的坐标表示式 设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)， a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 思考：垂直的判定必须是非零向量才成立，为什么？ 设a =(x，y),则 |a|2= 或|a |= _______ 向量的长度(模) 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|=_____________ ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 y y x x - + - 例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b. (1) 2；（2）17；（3）17 练习：课后练习1, 2 例2. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明. ∴ △ABC是直角三角形 x o y A C B 向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一 变式：已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，判断四边形ABCD的形状. 矩形 注意形-垂直与数-数量积为零的相互转化 探究：数量积坐标运算与向量夹角如何转化呢？ o x y B A C D 设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么cosθ如何用坐标表示？ 例3. 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及|a||b|，再结合夹角θ的范围确定其值. 0≤θ≤π 解: 记a与b的夹角为θ 又0≤θ≤π 知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定