2.4.2空间向量与垂直关系课件(北师大选修2-1).ppt

* * 第二章 §4 第二课时 把握 热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 第二课时　空间向量与垂直关系 [一点通]　用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即a·b＝0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进行证明． 1．四面体OABC中，各棱长均为a，求证：OA⊥BC. [例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC. [一点通] 用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理． 3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F分别是BB1、D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. 4．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为 CC1中点． 求证：AB1⊥平面A1BD. [例3]　(12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC. [思路点拨]　本题可建立空间坐标系后，证明面BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直． [一点通]　 用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直． 5．已知：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， CD的中点．求证：平面DEA⊥平面A1FD1. 6.如图，ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的 正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求证： 平面AB1D⊥平面ABB1A1. 垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单． 点击下图进入“应用创新演练” * [例1]　直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点，在DD1上存在一点N，使MNDC1，试确定N点位置． [思路点拨]　本题中DA，DC，DD1两两垂直，故可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．可设出点N坐标后利用方程·＝0，进行求解． [精解详析]　建立空间直角坐标系，如图． 则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，＝(0,2,3)．设点N(0,0，h)， 则＝. MN⊥DC1，则·＝·(0,2,3)＝－4＋3h＝0.h＝，则N. 故N点在DD1上且|DN|＝时，有MNDC1. 证明：令＝a，＝b，＝c，由题意 |a|＝|b|＝|c|＝a，且〈a，b〉＝，〈a，c〉＝. 而＝－＝c－b， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b， ＝|a||c|cos〈a，c〉－|a||b|cos〈a，b〉＝a2－a2＝0， ⊥，即OABC. 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ABC＝90°，AB＝，BC＝1，BB1＝，M为CC1中点，求证：AMBA1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0，，0)，B1(0,0，)，A1(0，，)，C1(1，0，)． M为CC1的中点，M. ∴＝，＝(0，，)． ·＝1×0－3＋×＝0. ⊥，即AMBA1. [思路点拨]　欲证B1O平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可． [精解详析]　如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)． 于是＝(1,1,2)， ＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．由于·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0. 所以OB1AC，OB1AP. 又AC面PAC，AP面PAC，且AC∩AP＝A， 所以OB1平面PAC. 证明：建立如图所示坐标系，令正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1，1,1)，C(0,1