2.4。随机变量函数的分布.ppt

§2.5 随机变量的函数分布 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、离散型随机变量函数的分布 例1 设X具有以下的分布列,试求Y1=X-1,Y2=(X-1)2的分布列: 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 2 1 0 -1 X 解: 列表如下: 0.4 0.1 0.3 0.2 pk 1 0 1 4 Y2=(X-1)2 1 0 -1 -2 Y1=X-1 2 1 0 -1 X Y1i各不相同,故P{Y1=yi} =P{X=xi} 当x=0和x=2时,y2均为1,此时两种情况应合并为一种: P{Y2=1} =P{X=0}+P{X=2} 0.2 0.7 0.1 pk 4 1 0 Y2 设X时离散型随机变量,概率分布表是: … pk … p2 p1 P{X=xi} … xk … x2 x1 X Y=g(X)也是一个离散型随机变量,记yi=g(xi),i=1,2…如果诸yi的值互不相等,则Y的概率分布为: P{Y=yi} =P{X=xi} =pi i=1,2… … pk … p2 p1 P{X=xi} … xk … x2 x1 X 如果诸yi的值不是互不相等时,应把那些相等的值分别合并, 并且根据概率的加法公式把相应的pi相加,就得到Y的概率分布. 二、连续型随机变量函数的分布 例2 设随机变量X具有概率密度: 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解:先求Y的分布函数FY(y) FY(y) =P{Y≤y} =P{2X+8 ≤y} =P{X ≤(y-8)/2} 两边对y求导得Y得概率密度: fY(y) 例3 设X的概率密度为fX(x)，试求Y=|X|的概率密度fY(y). 解： 当y0时{Y≤y}是不可能事件，即FY(y)=P{Y≤y}=0 ∴fY(y)＝FY’(y)=0 当y≥0时， FY(y) =P{Y≤y} ＝P{|X|≤y} =P{-y≤X≤y} =FX(y)- FX(-y) fY(y)= FY’(y)=fX(y)+fX(-y) 分布函数法:在Y≤y中，即在g(X) ≤y中解出X，从而得到一个与g(X) ≤y等价的X的不等式，并以后者代替g(X) ≤y求出其分布函数，继而求出Y的密度函数。 定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), －∞＜x＜∞，又设函数g(x)可导，且有g’(x)0,(或恒有g’(x)0)。则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为: 其中α＝min(g(-∞)，g(∞))，β＝max(g(-∞),g(∞))，h(y)是g(x)的反函数。 注：1)定理的条件可减弱为在各分段区间上满足定理的条件，此时可分段讨论之。 2)若fX(x)在[a,b]外为零，且g’(x)0(或0)，x∈[a,b]。则α＝min{g(a),g(b)},β=max{g(a),g(b)} 解 例4 设随机变量X具有概率密度函数fX(x)? 求Y?X3的概率密度? 函数y?x3是x的严格单调增加函数? 反函数 有连续的导函数 于是? Y?X3的概率密度为 例5 设随机变量X～N(μ,σ2)，试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。 证： y=g(x)=ax+b单调，可导，其反函数为 y∈(-∞,+∞) 即 Y～N(aμ+b,(aσ)2) 例6 设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，试求Y=-2lnX的概率密度。 解： 函数y=-2lnx在(0,1)上单调下降，值域为(0,∞) 当y≤0时，FY(y)=0，fY(y)=0 当y0时，由y=-2lnx求得