2.4向量的数量积课件(苏教版必修4).ppt

向量的数量积 第一课时 情境创设 问题1 向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果又是什么呢？ 问题2 物理中有没有其它的向量运算呢？ 学生活动 问题3 物理学中，物体所受力为F，在力的方向上产生的位移是S时， 力对物体所做的功是多少？ 问题4 如图，当力F和位移S存在一个夹角θ时，力对物体所做的功是多少？ F S θ 意义建构 问题5 从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？ 问题6 在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？ 向量a与b的夹角 练习1 请同学们指出下列图中两个向量 、 （或 ）的夹角． 向量a与b的夹角的取值范围 特别地，当向量a与b的夹角为0°时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180°时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b． 问题7 零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？ 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0?a＝0． 数学理论 向量数量积的定义： 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a?b，即a?b＝|a||b|cosθ．同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0?a＝0． 练习2 判断下列结论是否正确： （1）若a＝0，则对任意非零向量b，都有a?b＝0； （2）若a≠0，则对任意非零向量b，都有a?b≠0； （3）若b≠0，a?b＝b?c，则a＝c； （4）若a?b＜0，则向量a与b的夹角为钝角； （5）若a，b均为非零向量，且a?b＝|a| |b|，则a∥b． 问题8 向量的数量积有什么性质？ 当a与b同向时，a?b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|． 特别地，当b＝a，有a·a|a|2，或|a|．（记a·a＝a2） 问题9 向量的数量积有什么样的运算性质？ 已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： （1） a·bb·a（交换律）； （2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（对数乘运算的结合律）； （3）（a＋b）· c=a·c＋b·c（分配律）． 数学运用 例1 已知向量a与b的夹角为?，|a|＝4，|b|＝3，分别在下列条件下求a?b： (1)?＝45o；　　(2)?＝90o；　　(3)?＝120o． 例2 已知正△ABC的边长为2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 求a?b，b?c． 练习3 1．已知|a|＝4，|b|＝3，分别在下列条件下求a?b：(1) a⊥b ；(2) a∥b． 2．试利用向量数量积的运算律证明：(a＋b)2＝a2＋2a?b＋b2． 向量的数量积 第二课时 复习回顾 1．平面向量的夹角 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点作 a， b，则 θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角． 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|． 3．向量的数量积的性质 4．向量的数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1)a·b=b·a(交换律)； (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)； (3)(a＋b)·c=a·c＋b·c． 向量的数量积运算不满足结合律． 数学运用 例3? 求证： (1) (a＋b)2 ＝ a2＋2a·b＋b2； (2) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2． 例4? 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)． 例5? 已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a＋kb与 a－kb互相垂直？ 例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为和，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j， 求a·b． 例7 设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ， ，试求的值 ． 向量的数量积 第三课时 问题情境 问题1 若两个向量为a＝(x1，y1)，b